Logikai művelet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Logikai műveletek alatt az ítéletkalkulus ítéletein definiált műveleteket értünk, amelyek segítségével az ítéletekből újabb, összetett ítéleteket alkothatunk. Az így képezett összetett ítéletek igazságértéke pedig egyértelműen meghatározható a kiindulási ítéletek igazságértékeiből.

A logikai művelet, mint általános fogalom, számtalan különféle néven fordul elő a szakirodalomban. A szerzők beszélnek pl. logikai függvényekről, igazságfüggvényekről, logikai operátorokról (ezek közé általában a kvantorokat is beleértve), vagy - ritkábban - junktorokról.

A legáltalánosabban használt logikai műveletek a negáció, a konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia. A logikai műveleteket két nagy csoportba osztjuk: a formális logika és a szimbolikus logika. A formális logika célja a helyes következtetések levonása. A szimbolikus logika szimbólumokat használ. Igaz = i, felfelé mutató nyíl,1, T

                                           Hamis = h, lefelé mutató nyíl, 0 , F


Egyváltozós logikai műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Négy egyváltozós logikai művelet van, hiszen attól függően, hogy a kiinduló állítás igaz vagy hamis, az eredmény is igaz vagy hamis lehet. tehát a kiinduló állítás igaz és hamis értékéhez is két lehetőség van, ami összesen 2 × 2 = 4 lehetőség.

A
I A ¬A H
igaz i i h h
hamis i h i h

A 1. művelet és a 4. művelet értéke mindenütt ugyanaz, vagyis ez a két művelet konstans függvény, ezek valójában nullaváltozós műveletek. Valódi egyváltozós művelet a 2. és a 3. (a 2. a függvényhez saját magát rendeli, a 3. pedig a negáltját).

Negáció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A negáció (tagadás) egyváltozós logikai művelet; egy állításhoz hozzárendel egy másik állítást.

Például: a "szeretek aludni" állításhoz a "nem szeretek aludni" állítást rendeli hozzá.

A nem szócskával a negáció ellenkezőjére változtatja az állítás logikai értékét. A negáció (tagadás) jele: ¬ (olvasd: nem). A ¬A állítás akkor igaz, amikor az A állítás nem igaz, és akkor nem igaz, amikor az A állítás igaz.

Értéktáblázata:

A
igaz hamis
¬A h i

Kétváltozós logikai műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

16 kétváltozós logikai művelet van, ugyanis a kétváltozós logikai műveletek két állításhoz rendelnek hozzá egy harmadikat, a két kiinduló állítás mindegyike kétféle logikai értéket vehet föl, ami összesen 4 lehetőséget jelent:

igaz, igaz;
igaz, nem igaz;
nem igaz, igaz;
nem igaz, nem igaz;

A kiinduló állítás négy lehetősége mindegyikéhez az eredmény kétféle (igaz vagy hamis) lehet, ez összesen 2 × 2 × 2 × 2 = 16 lehetőség.

A | B Kétváltozós logikai műveletek
1 A ∨ B A → B B B → A A A ↔ B A ∧ B N ¬(A∨B) ¬(A→B) ¬B ¬(B→A) ¬A ¬(A↔B) ¬(A∧B)
igaz, igaz i i i i i i i i h h h h h h h h
hamis, igaz i i i i h h h h h h h h i i i i
igaz, hamis i i h h i i h h h h i i h h i i
hamis, hamis i h i h i h i h h i h i h i h i
A fent látható A és B állítással végezhető kétváltozós logikai műveletek értéktáblázata (a táblázatban i-vel jelöljük az igaz logikai értéket, h-val a hamis logikai értéket.

A 1. művelet és a 9 művelet értéke mindenütt ugyanaz, vagyis ez a két művelet konstans függvény, ezek valójában nullaváltozós műveletek.

A 4., a 6., a 12. és a 14. egyváltozós műveletek.
Valóban kétváltozós műveletek a 2., a 3., az 5., a 7., a 8., a 10., a 11., a 13., a 15. és 16.

Konjunkció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Logikai és. Kétváltozós logikai művelet, az eredménye csak akkor igaz, ha A és B is igaz.

A | B
hamis igaz
hamis h h
igaz h i

Diszjunkció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jele: v A vagy művelet ( Diszjunkció) akkor hamis ha mindkét részállítás hamis. A többi esetben viszont igaz. Logikai vagy (megengedő vagy). Kétváltozós logikai művelet, az eredménye akkor igaz, ha A vagy B vagy A és B igaz.

A | B
hamis igaz
hamis h i
igaz i i

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Dienes Zoltán: Building up Mathematics, Hutchinson Educational Ltd, (1960)
  • Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika, Polygon, Szeged (1994)