Konjunkció

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai logikában konjunkció vagy más néven logikai és alatt egy olyan kétváltozós logikai műveletet értünk, amelynek a logikai értéke pontosan akkor igaz, ha mind a két operandusának igaz a logikai értéke.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A p és q ítéletek konjunkcióját a következő igazságtáblázat definiálja:

p q
igaz igaz igaz
igaz hamis hamis
hamis igaz hamis
hamis hamis hamis

ahol \wedge a konjunkció jele.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Tetszőleges A, B, C ítéletek esetén teljesülnek a következő állítások:

A\wedge A\equiv A
A\wedge B\equiv B\wedge A
A\wedge (B\wedge C)\equiv (A\wedge B)\wedge C
A \wedge(B \vee C)\equiv (A \wedge B) \vee (A \wedge C)
  • A diszjunció disztributív a konjunkcióra, azaz
A \vee(B \wedge C)\equiv (A \vee B) \wedge (A \vee C)
  • A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek az elnyelési tulajdonságok (abszorptivitás), azaz
A \vee(A \wedge B)\equiv A, és
A \wedge(A \vee B)\equiv A
  • A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek a De Morgan azonosságok, azaz
\neg(A \wedge B)\equiv (\neg A) \vee (\neg B), és
\neg(A \vee B)\equiv (\neg A) \wedge (\neg B)
  • Végül fennáll a dualitás elve, azaz ha felcseréljük a konjunkciót és a diszjunkciót, valamint az igaz és a hamis logikai konstansokat, akkor az állítás igazságértéke megmarad.

Venn-diagram[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

"A és B" Venn-diagramja (a piros rész az igaz rész konjunkció esetén)

A és B

A többértékű logikákban[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A többértékű logikákban a konjunkciót a permanenciaelv szerint úgy terjesztik ki, hogy minél több tulajdonságát megőrizzék. Ezek közül a legfontosabb az asszociativitás és a kommutativitás. Egy többértékű T(A,B) konjunkciónak ezeknek a tulajdonságoknak kell eleget tennie:

  • Kommutativitás: T(A,B) = T(B,A)
  • Asszociativitás: T(A,(T(B,C)) = T(T(A,B),C)
  • Monotónia: A > B \Rightarrow T(A,C) \ge T(B,C)
  • Egységelem: T(1,A) = A

További értelmes, de nem szükséges tulajdonságok a folytonosság és az idempotencia.

A három értékű logikákban bevezethetők például a következő konjunkciók:

Jan Łukasiewicz Ł3 logikájában (1920) a konjunkció kiterjesztése a minimumfüggvény:

A B A \land B
1 1 1
1 0,5 0,5
1 0 0
0,5 1 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0 0
0 1 0
0 0,5 0
0 0 0

Dimitri Analtoljewitsch Bočvar (1938) B3 logikájában:

A B A \land B
1 1 1
1 0,5 0,5
1 0 0
0,5 1 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0 0,5
0 1 0
0 0,5 0,5
0 0 0

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]