Egyenletes eloszlás

Az egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye

A valószínűségszámításban egy X folytonos valószínűségi változót az [a,b] intervallumon egyenletes eloszlásúnak nevezünk, ha sűrűségfüggvénye:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {ha} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {ha} \ x<a\ \mathrm {vagy} \ x>b\end{cases}}$

A véletlengenerátorokat úgy tervezik, hogy egy adott intervallumon minél inkább megközelítsék az egyenletes eloszlást.

Beszélnek diszkrét egyenletes eloszlásról is. Ilyen például a szabályos dobókockával dobott számok eloszlása.

Jellemző függvényei

Az egyenletes eloszlás eloszlásfüggvénye

Eloszlásfüggvénye

$F(x)={\begin{cases}0&\mathrm {ha} \ x<a,\\{\frac {x-a}{b-a}}&\mathrm {ha} \ a\leq x\leq b,\\1&\mathrm {ha} \ x>b\\\end{cases}}$

Karakterisztikus függvénye

$\varphi (t)={\frac {e^{it{\frac {a+b}{2}}\sin {t{\frac {b-a}{2}}}}}{t{\frac {b-a}{2}}}}$

A sűrűségfüggvényének tulajdonságai

• Szimmetrikus az (a+b)/2 pontra.
• Az [a,b] intervallum minden pontja maximumhely.
• A konvolúció kisimítja az eloszlásfüggvényt.
  • Két egyenletes eloszlású valószínűségi változó konvolúciója háztetőfüggvényt ad.
  • Három egyenletes eloszlású függvény konvolúciója már sima.

Jellemző mennyiségei

Várható értéke

$\mathbf {E} (X)={\frac {a+b}{2}}$

Szórása

$\mathbf {D} (X)={\frac {b-a}{\sqrt {12}}}$

Momentumai

A páratlan centrális momentumai nullával egyenlőek, a párosak

$\mathbf {E} (X-\mathbf {E} (X))^{2r}=\left({\frac {b-a}{2}}\right)^{2r}(2r+1)^{-1}$

Ferdesége

$\beta _{1}(X)=0\,$

Lapultsága

$\beta _{2}(X)=-1,2\,$

Diszkrét egyenletes eloszlás

Be lehet vezetni diszkrét egyenletes eloszlást is. Ekkor a felvehető értékek halmaza nem egy intervallum, hanem különálló számok véges halmaza, amik mind ugyanolyan valószínűséggel adódnak. Ilyen például a szabályos kockadobás eredménye. Az értékek halmaza {1,2,3,4,5,6}, és mindegyiknek 1/6 a valószínűsége. Ha a kocka nem szabályos, és valamelyik számnak nagyobb a valószínűsége, mint a többinek, akkor a dobás eredménye nem lesz egyenletes eloszlású.

Többdimenziós egyenletes eloszlás

Az egydimenziós esethez hasonlóan definiálható a magasabb dimenziós egyenletes eloszlás.

Legyen G véges mérhető halmaz. Akkor mondjuk, hogy X egyenletes eloszlású valószínűségi változó G-n, ha G bármely mérhető részhalmazára annak mértékével arányos valószínűséggel esik.

Jelölje G mértékét (területét, térfogatát) λ(G)! Ekkor X sűrűségfüggvénye:

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\lambda (G)}}&\mathrm {ha} \ x\in G,\\0&\mathrm {egy{\acute {e}}bk{\acute {e}}nt} \\\end{cases}}$

Források

• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen. [1]
• Diszkrét egyenletes eloszlás