„Banach-tér” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Vépi (vitalap | szerkesztései) →Néhány fontos tulajdonság: kékít |
bevezető bővítése a németből |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
{{egyért3|Tér (egyértelműsítő lap)|A|Tér}} |
{{egyért3|Tér (egyértelműsítő lap)|A|Tér}} |
||
A '''Banach-tér''' a modern analízis egyik alapvető fogalma. [[metrikus tér#Teljes metrikus terek|Teljes]] [[normált tér|normált vektorteret]] értünk alatta, vagyis olyan [[vektortér|vektorteret]], mely a [[Norma (matematika)|normából]] származtatott [[metrikus tér|metrikára]] nézve teljes. |
A '''Banach-tér''' a modern analízis egyik alapvető fogalma. [[metrikus tér#Teljes metrikus terek|Teljes]] [[normált tér|normált vektorteret]] értünk alatta, vagyis olyan [[vektortér|vektorteret]], mely a [[Norma (matematika)|normából]] származtatott [[metrikus tér|metrikára]] nézve teljes. A funkcionálanalízis egy központi objektuma. |
||
A pontos definíció tehát a következő: |
A pontos definíció tehát a következő: |
||
A <math>V</math> vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle <math>d(a,b):=||a-b||</math> összefüggéssel származtatott <math>d</math> távolságra nézve a <math>V</math> tér teljes, vagyis a <math>V</math> térben minden [[Cauchy-sorozat]] [[Konvergencia (matematika)|konvergens]]. |
A <math>V</math> vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle <math>d(a,b):=||a-b||</math> összefüggéssel származtatott <math>d</math> távolságra nézve a <math>V</math> tér teljes, vagyis a <math>V</math> térben minden [[Cauchy-sorozat]] [[Konvergencia (matematika)|konvergens]]. |
||
Sok végtelen dimenziós függvénytér Banach-tér. Stefan Banach után nevezték el, aki 1920–1922-ben Hans Hahnnal és Eduard Hellyvel közösen tanulmányozta.<ref name=":0">{{cite book |author=A. Pietsch |title=History of Banach spaces and linear operators |publisher=Birkhäuser |location=Boston, Mass. |date=2007 |ISBN=978-0-8176-4596-0}}</ref> |
|||
== Elnevezés == |
== Elnevezés == |
A lap 2024. június 1., 17:40-kori változata
A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes. A funkcionálanalízis egy központi objektuma.
A pontos definíció tehát a következő:
A vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle összefüggéssel származtatott távolságra nézve a tér teljes, vagyis a térben minden Cauchy-sorozat konvergens.
Sok végtelen dimenziós függvénytér Banach-tér. Stefan Banach után nevezték el, aki 1920–1922-ben Hans Hahnnal és Eduard Hellyvel közösen tanulmányozta.[1]
Elnevezés
A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi, aki 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az terek absztrahálásából született fogalom.
Példák
1. Az ( ) terek olyan sorozatokból álló normált terek, mely elemeinek vektorként való értelmezésében annak p-normája véges. Ezen sorozatokból álló halmazok Banach-terek.
2. Az adott intervallumon folytonos függvények tere Banach-tér a szuprémum normával.
3. Az adott intervallumon korlátos változású függvények tere Banach-tér.
4. Az -dimenziós euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.
5. A komplex számokból képzett -dimenziós vektorok Cn tere is Banach-teret alkot.
Néhány fontos tulajdonság
A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.
Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).
Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).
Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.
Források
- Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
- Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
- Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
- Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
- Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8
- ↑ A. Pietsch. History of Banach spaces and linear operators. Boston, Mass.: Birkhäuser (2007. június 27.)