„Euler-függvény” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Syp (vitalap | szerkesztései) |
Syp (vitalap | szerkesztései) Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
94. sor: | 94. sor: | ||
<center><math>\sum_{n=1}^{x}\varphi(n)=\frac{3}{\pi^2}x^2+O(x\log x)</math></center> |
<center><math>\sum_{n=1}^{x}\varphi(n)=\frac{3}{\pi^2}x^2+O(x\log x)</math></center> |
||
==Tóciens számok== |
|||
Egy '''totient''' vagy '''tóciens szám''' (a kvóciens mintájára) az Euler-függvény által felvett érték, tehát a φ függvény értékkészletének egy eleme. Olyan ''m'' egész, amihez létezik legalább egy olyan ''n'', amire φ(''n'') = ''m''. A tóciens ''m'' szám valenciáján vagy multiplicitásán az előbbi egyenlet megoldásainak számát értjük (tehát hogy a φ függvény hányszor veszi fel az ''m'' értéket).<ref name=Guy144>Guy (2004) p.144</ref> Egy ''[[nontóciens szám]]'' alatt olyan természetes számot értünk, ami nem tóciens szám; az egynél nagyobb páratlan számok mind ilyenek, de rajtuk kívül is végtelen sok nontóciens szám létezik,<ref name=SC230>Sándor & Crstici (2004) p.230</ref> és minden páratlan számnak létezik páros, nontóciens többszöröse.<ref name=Zha1993>{{cite journal | zbl=0772.11001 | last=Zhang | first=Mingzhi | title=On nontotients | journal=[[Journal of Number Theory]] | volume=43 | number=2 | pages=168–172 | year=1993 | issn=0022-314X | doi=10.1006/jnth.1993.1014}}</ref> |
|||
Az ''x''-nél kisebb tóciens számok határértéke |
|||
:<math>\frac{x}{\log x}\exp\left({ (C+o(1))(\log\log\log x)^2 }\right) \ </math>, |
|||
ahol a konstans ''C'' = 0,8178146... .<ref name=Ford1998>{{cite journal | zbl=0914.11053 | last=Ford | first=Kevin | title=The distribution of totients | journal=Ramanujan J. | volume=2 | number=1-2 | pages=67–151 | year=1998 | issn=1382-4090 | doi=10.1007/978-1-4757-4507-8_8}}</ref> |
|||
Ha a multiplicitást figyelembe véve számoljuk össze, az ''x''-nél kisebb tóciens számokat megadó képlet: |
|||
:<math>\vert\{ n : \phi(n) \le x \}\vert = \frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} \cdot x + R(x) \ </math>, |
|||
ahol az ''R'' hibatag nagyságrendje legfeljebb <math>x / (\log x)^k</math> bármilyen pozitív ''k''-ra.<ref name=SMC22>Sándor et al (2006) p.22</ref> |
|||
Ismert az is, hogy ''m'' multiplicitása végtelen sokszor haladja meg ''m''<sup>δ</sup>-t, amennyiben δ < 0,55655.<ref name=SMC21>Sándor et al (2006) p.21</ref><ref name=Guy145>Guy (2004) p.145</ref> |
|||
== Egyéb == |
== Egyéb == |
A lap 2016. január 17., 17:40-kori változata
A -nel jelölt Euler-függvény (vagy Euler-féle fí-függvény) a matematikában a számelmélet, különösen a moduláris számelmélet egyik igen fontos függvénye, egy egész számokon értelmezett egész értékű ún. számelméleti függvény. J. J. Sylvester 1879-ben a totient (kb. „annyiszoros”, magyarul a hányados-kvóciens mintájára esetleg tóciens) függvény nevet adta neki.
Legelemibb meghatározása, hogy egy adott pozitív egész számhoz a nála nem nagyobb relatív prím pozitív egész számok számát adja meg.
Formálisan:
φ(n) = |{ k∈Z | 0<k≤n ∧ (n,k) = 1 }| (ahol n∈N)
.
Egy másik, de fentivel teljességgel azonos függvényt adó értelmezésben e függvény a modulo n redukált maradékosztályok számát adja meg (ez gyakorlatilag ugyanaz, mint az előbbi definíció, elvontabban, a maradékaritmetika kifejezéseivel megfogalmazva).
Félig-meddig explicit (a számelmélet alaptételét használó) képlet is adható e függvény kiszámítására, ld. lentebb.
Értékei kis számokra
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Legfontosabb tulajdonságai
Multiplikativitás
Talán a legfontosabb tulajdonsága, hogy („gyengén”) multiplikatív, azaz relatív prím számok szorzatán ugyanazt az értéket veszi fel, mint ami a két számon felvett értékének szorzata:
Például:
- a=7 az prím szám, és
- b=11 szintén prím, és
(lásd az Értékei kis számokra c. táblázatot)
A két prímszám szorzata: , valamint , ami pontosan .
Kiszámítása
- Viszonylag könnyű belátni a következőket:
- Ha prímszám, akkor (mert éppen akkor prím egy p egész szám, ha minden nála kisebb pozitív szám relatív prím hozzá, különben lenne önmagánál kisebb prímosztója!) .
- Ha prímhatvány, akkor
- Általánosabb n-re a multiplikativitás és az előző kis tulajdonság alapján, a számelmélet alaptétele felhasználásával számítható ki;
- Bár talán még elemibb módszer, ha csak a szitaformulát használjuk. Ekkor az így kapott képletből is adódik a multiplikativitás (mindkét módszer persze ugyanazt a képletet eredményezi): ha , , és (páronként) különböző prímek, akkor érvényes
ahol tehát az szám különböző prímtényezőinek száma, pedig valamely prímtényezője. A képlet n=0,1-re nem alkalmazható, de mind az elemi, mind a formális definíció szerint φ(0)=0, φ(1)=1.
Például φ(10) = 10×(1-1/2)×(1-1/5) = 10×(1/2)×(4/5)=4; és valóban az 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 számok közt négy darab 10-hez relatív prím van: 1, 3, 7, és 9.
A Möbius-függvény segítségével ez
alakban írható.
Az osztókra összeadva
Ez bizonyítható az explicit formulából, de így is: vegyük az
törteket. Ezek száma nyilván n. Írjuk mindegyiket egyszerűsített formában! Ekkor ezek a/d alakú törtek lesznek, ahol d osztója n-nek. Adott d-hez azok az a számlálók adódnak, amelyekkel egyszerűsített törtet alkot, azaz, ha . Innen adódik a kívánt azonosság.
Összegfüggvénye
Tóciens számok
Egy totient vagy tóciens szám (a kvóciens mintájára) az Euler-függvény által felvett érték, tehát a φ függvény értékkészletének egy eleme. Olyan m egész, amihez létezik legalább egy olyan n, amire φ(n) = m. A tóciens m szám valenciáján vagy multiplicitásán az előbbi egyenlet megoldásainak számát értjük (tehát hogy a φ függvény hányszor veszi fel az m értéket).[1] Egy nontóciens szám alatt olyan természetes számot értünk, ami nem tóciens szám; az egynél nagyobb páratlan számok mind ilyenek, de rajtuk kívül is végtelen sok nontóciens szám létezik,[2] és minden páratlan számnak létezik páros, nontóciens többszöröse.[3]
Az x-nél kisebb tóciens számok határértéke
- ,
ahol a konstans C = 0,8178146... .[4]
Ha a multiplicitást figyelembe véve számoljuk össze, az x-nél kisebb tóciens számokat megadó képlet:
- ,
ahol az R hibatag nagyságrendje legfeljebb bármilyen pozitív k-ra.[5]
Ismert az is, hogy m multiplicitása végtelen sokszor haladja meg mδ-t, amennyiben δ < 0,55655.[6][7]
Egyéb
- Külföldön néha Euler's totient functionnak, azaz kb. „Euler annyiszoros-függvényének” nevezik, itt a totient szó a latin eredetű totiens (annyiszor(os), ahány) szóból származik, állítólag a quotiens („hányszoros”, azaz hányados, kvóciens) mintájára alkotta meg J. J. Sylvester 1879-ben: „The so-called φ function of any number I shall here and hereafter designate as its τ function and call its Totient.” .
- Máig megoldatlan a következő probléma, a Carmichael-sejtés: „Az Euler-függvény minden értéket legalább két helyen vesz fel.”
- Néha a Gamma-függvényt is nevezik Euler-féle gammafüggvénynek.
- A Mathematica programban az EulerPhi függvénnyel számolható ki az értéke.
Kapcsolódó szócikkek
- ↑ Guy (2004) p.144
- ↑ Sándor & Crstici (2004) p.230
- ↑ Zhang, Mingzhi (1993). „On nontotients”. Journal of Number Theory 43, 168–172. o. DOI:10.1006/jnth.1993.1014. ISSN 0022-314X.
- ↑ Ford, Kevin (1998). „The distribution of totients”. Ramanujan J. 2, 67–151. o. DOI:10.1007/978-1-4757-4507-8_8. ISSN 1382-4090.
- ↑ Sándor et al (2006) p.22
- ↑ Sándor et al (2006) p.21
- ↑ Guy (2004) p.145