„Szög” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Visszavontam az utolsó változtatást (89.148.82.178), visszaállítva KasparBot szerkesztésére |
Nincs szerkesztési összefoglaló Címkék: Mobilról szerkesztett Mobil web szerkesztés |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
{{egyért2|a geometriai fogalomról|Szög (egyértelműsítő lap)}} |
{{egyért2|a geometriai fogalomról|Szög (egyértelműsítő lap)}} |
||
Kecske |
|||
'''A szög mint síkgeometriai fogalom.''' A [[sík (geometria)|sík]] egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes '''szög'''et alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, amik [[forgatás]]kor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel ''az óramutató járásával ellentétes forgásirányt'' jelöli. |
'''A szög mint síkgeometriai fogalom.''' A [[sík (geometria)|sík]] egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes '''szög'''et alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, amik [[forgatás]]kor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel ''az óramutató járásával ellentétes forgásirányt'' jelöli. |
||
A lap 2016. február 18., 10:32-kori változata
Kecske A szög mint síkgeometriai fogalom. A sík egy pontjából kiinduló két félegyenes a síkot két tartományra osztja. Az egyik tartomány és a két félegyenes szöget alkot. A szög jelentheti a félegyenesek által határolt síkrészeket (szögtartomány), illetve magukat a félegyeneseket is (a szög szárai, szögvonal). Azt, hogy a két szögtartomány közül melyikről van szó, a szárak közé rajzolt körívvel jelezzük. A félegyenesek közös pontját a szög csúcsának, a félegyeneseket a szög szárainak nevezzük. Szokták szögnek hívni a szögtartományt, és beszélnek forgásszögekről is, amik forgatáskor keletkeznek, és a teljesszögnél is nagyobbak lehetnek. Forgásszögeknél szokás előjeles szögekről is beszélni. A pozitív előjel az óramutató járásával ellentétes forgásirányt jelöli.
A szög mint mennyiség. A síkszög egy arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és a hozzá tartozó sugár hosszának aránya. Ehhez hasonlóan a térszög is egy arányszám: a térszög csúcsa köré írt gömbfelületből a szög által kimetszett gömbfelület területének és a gömbsugárhossz négyzetének aránya.
A szögek felosztása
- Nullszög: 0°.
- Hegyesszög: 0°-nál nagyobb, de 90°-nál kisebb szög.
- Gér: nyolcadkörívhez tartozó szög, 45°, π/4 radián.
- Derékszög: negyedkörívhez tartozó szög, 90°, π/2 radián. Mellékszögével egyenlő nagyságú.
- Tompaszög: 90°-nál nagyobb, de 180°-nál kisebb szög.
- Egyenesszög: félkörívhez tartozó szög, szárai egyenest alkotnak. Az egyenesszög két derékszög összege, 180°, π radián.
- Konvex szögek: az egyenesszögnél kisebb szögek, tehát a hegyesszögek, a tompaszögek és a derékszög konvex szögek.
- Konkáv szögek: más néven homorúszögek; az egyenesszögnél nagyobb szögek (az ábrán az ABC szög).
- Teljes szög: egész körívhez tartozó szög; a két szögszár egybeesik, és a belső tartománnyal együtt felöleli az egész síkot. 360°, 2π radián.
Szögpárok
- Mellékszögek: két olyan szög, amelyeknek egy-egy szára azonos, a másik kettő pedig egyenest alkot.
- Pótszögek: két olyan szög, amelyek összege derékszög.
- Kiegészítő szögek: két olyan szög, amelyek összege egyenesszög.
- Párhuzamos szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik párhuzamos egyeneseken vannak. A párhuzamos szögek lehetnek:
- 1) egyállású szögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyenlő irányításúak (egyenlő nagyságúak)
- 2) váltószögek: A száraik páronként párhuzamosak és ellenkező irányításúak (egyenlő nagyságúak)
- (speciális esetben) Csúcsszögek: csúcsuk azonos, és mindkét száruk egymás szárainak meghosszabbítása. Azonos nagyságúak
- 3) társszögek: A száraik páronként párhuzamosak és egyik pár egyező a másik ellenkező irányítású (egymás kiegészítőszögei)
- Merőleges szárú szögek: Mint a neve is mondja, a száraik egymásra merőleges egyeneseken vannak. (egyenlő nagyságúak vagy egymás kiegészítőszögei)
További elnevezések
- Belső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó két oldal által bezárt szög.
- Külső szög: egy sokszög szögpontjában találkozó oldal és a szomszédjának ama szögponton túl való meghosszabbítása által közbezárt szög.
A szögek mérése
A θ szög méréséhez egy körívet húzunk, melynek középpontja a szög csúcsa. Legyen a körív hossza s, a kör sugara pedig r, k pedig egy választott együttható. Ekkor a szög mértéke:
amely független a kör méretétől, mivel a körív és a sugár aránya állandó.
A szögeket dimenzió nélkülinek szokták tekinteni, mivel két hosszúság hányadosaként jelenik meg. Ennek ellenére a szögeket többféle mértékegységben fejezik ki attól függően, hogy milyen értéket választottunk a k együtthatónak.
- A fok, amelyet egy felső helyzetű körrel jelölnek (°), a teljes kör 1/360-ad része, tehát a teljes kör mértéke 360°. A fok 1/60-ad része az ívperc, melynek jelölése: ′ . A fokperc 1/60-ad része az ívmásodperc, melynek jelölése: ″ A θ szög fokban való meghatározásához:
- Egy radián a mértéke annak a szögnek, amelynél a hozzá tartozó körív és sugár hányadosa 1. (vagyis k = 1 a fenti képletben). A teljes kör mértéke 2π radián. Egy radián 180/π fok, azaz közelítőleg 57,2958 fok. A radián rövidítése rad, de ezt jellemzően nem szokták kiírni a matematikai szövegekben, ahol az alapértelmezett mértékegység a radián. Ezt a választást az indokolja, hogy ezzel egyszerűbbek lesznek a képletek, és nem kerülnek bele mindenféle váltószámok. Lásd: [1] A radián a szögek mértékegysége az SI rendszerben.
- Léteznek más egységek is. Ezekről a Mértékegységek átszámítása#Szög tartalmaz adatokat.
A szög fogalmának kiterjesztése - a forgásszögek
A fenti definíció szerint a szög azon pontok halmaza amelyeket az egyik szögszár a másikba való elforgatása a csúcs körül leír. Itt a forgás irányát nem vesszük tekintetbe. Ha a forgás irányát is tekintetbe vesszük, továbbá tekintetbe vesszük azt hogy az elforgatás (maga a folyamat és nem a végeredmény) lehet nagyobb is mint a teljesszög, akkor eljutunk a szög fogalmának kiterjesztéséhez. Az ilyen szög nagysága lehet nullától kisebb is (az óramutató járásával egyező elforgatás esetén) és teljes szögtől, azaz 360°-tól illetve 2π radiántól nagyobb is (több mint egy kör elforgatás az óramutató járásával ellenkező irányban). A szög fogalmának ily módon való kiterjesztése a trigonometrikus függvényeknél, a matematikai analízisben jelentős.
Síkszögek a térben
A térelemek által bezárt síkszögek is értelmezhetők.
- A párhuzamos egyenesek, síkok által bezárt szög a nullszög.
- Egy sík, és az abban fekvő egyenes szöge is nullszög.
- Két metsző egyenes által bezárt szög a keletkezett szögek közül a kisebb, ami legfeljebb 90 fok.
- Két kitérő egyenes szöge megegyezik az eltoltjaik által bezárt szöggel.
- Egy metsző egyenes-sík pár szöge az egyenes és a síkra vett merőleges vetülete által bezárt szög.
- Két egymást metsző sík által meghatározott szög megegyezik azzal a szöggel, amit a síkban levő, a metszésvonalukra merőleges egyenesek bezárnak. Ezt a szöget nevezik lapszögnek.
Térszögek
Térszög helyett térszögletet is mondanak. A térszögek nagyságát általában szteradiánban mérik, ami a radián térbeli megfelelője, de néha felbukkannak más mértékegységek is. Lásd: Mértékegységek átszámítása#Térszög Egy szteradiánnyi szög a csúcsa köré írt r sugarú gömb felszínéből r2 területet metsz ki.
Nevezetes szögek szerkesztése
Vannak szögek, amik megszerkeszthetők körzővel és vonalzóval. Ezek közül a legnevezetesebbek a derékszög, a 60, a 30 és a 72 fokos szögek, valamint az ezekből felezéssel, összeadással, kivonással kapható szögek. Az így keletkezett szögek mellett szerkeszthetők a szabályos 17-szögből kapható szögek is. Az algebra eredményei szerint a szögek általában nem harmadolhatók; nevezetesen, a 60 fokos szög nem harmadolható körzővel és vonalzóval.
Műveletek szögekkel
- Szögek összeadása, kivonása: az egyik szög mellé közös csúccsal és egy közös szárral odamásoljuk a másik szöget a szöghöz képest kifelé, vagy befelé
- Szögfelezés: egy, a csúcsból húzott körívvel elmetsszük a szög két szárát, majd megfelezzük a kapott metszéspontok közötti szakaszt
A 60 fokos, és a belőle kapható szögek
A 60 fokos szög szerkesztése:
- Meghúzunk egy egyenes szakaszt
- Kijelölünk rajta egy O pontot
- Húzunk O-ból egy körívet, ami metszi az egyenes szakaszt; a metszéspont legyen A
- A körző szögnyílását változatlanul hagyva húzunk A-ból egy körívet, hogy messe az O középpontú körívet. Legyen ez a metszéspont B
- Az AOB hegyesszög 60 fokos lesz.
A 60 fokos szögből felezéssel kapható a 30 fokos szög. Derékszög nyerhető egy 60 és egy 30 fokos szög egymás mellé másolásával, vagy az egyenesszög megfelezésével.
Ezekkel a szögekkel szerkeszthetők szabályos hatszögek, szabályos háromszögek, téglalapok és négyzetek.
A szabályos ötszögből kapható szögek
Szabályos ötszög szerkeszthető, így a 72, a 108 és az 54 fokos szögek. Ezekkel tovább bővül a szerkeszthető szögek köre.
Szabályos ötszög szerkeszthető például adott a oldalhosszból:
- Felvesszük az adott oldalhosszt A és B végpontokkal
- Megszerkesztjük AB felezőmerőlegesét
- Felmérjük a felezőmerőlegesre az a szakaszhosszt; az így kimetszett pont Q
- Az AQ szakasz meghosszabbítására felmérjük az a hossz felét; az így kimetszett pont R. Az AR szakasz hossza adja az ötszög átlójának hosszát, d-t
- Az AQ felezőmerőlegesből az A-ból húzott d sugarú körív kimetszi D-t. Ezzel megkaptuk a szabályos ötszög egy oldala és egy átlója által bezárt szöget
- Az ötszög hiányzó két csúcsa a már meglevő csúcsokból húzott a sugarú körívekkel.
Ezzel megkapjuk a szabályos ötszög belső szögeként a 108 fokos szöget, ennek kiegészítő szögeként a 72 fokos szöget, és felezéssel az 54 fokos szöget.
Tételek a szögekről
- Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között: a háromszögben a legnagyobb oldallal szemben van a legnagyobb szög
- Kerületi és középponti szögek tétele: a középponti szög a hozzá tartozó kerületi szög kétszerese
- Speciális eset: Thalész-tétel: egy kör átmérőjéből a kör pontjai derékszögben látszanak
- Pitagorasz-tétel a derékszögű háromszögekről: a két befogó négyzetösszege az átfogó négyzete
- Befogótétel és magasságtétel
Trigonometria
A trigonometrikus függvények vagy szögfüggvények eredetileg egy derékszögű háromszög egy szöge és két oldalának hányadosa közötti összefüggést írják le.
A szögfüggvényeknek a derékszögű háromszög két oldalának hányadosa és a szög összefüggésén kívül az egységsugarú körben tekintett forgásszög-végpontok metszeteivel (vetületeivel, koordinátáival) is definiálhatók. Ez utóbbi definíció már 90°, azaz π/2-nél nagyobb, sőt negatív (mindent összevéve, tetszőleges valós) argumentumokra is működik.
A szögfüggvények segítségével pontosíthatók az összefüggések a háromszögek oldalai és szögei között:
- Szinusztétel: egy háromszög oldalainak aránya megegyezik a szemközti szögek szinuszainak arányával. A háromszög oldalai és szögei közötti összefüggés pontos alakja
- Koszinusztétel: : A Pitagorasz-tétel általánosítása
Kapcsolódó szócikkek
Források
- Matematikai kisenciklopédia, Gondolat Kiadó, Budapest, 1968
- Belső szög, Kislexikon
- Szögek értelmezése térben
- Síkszög, lapszög, térszög
- Nevezetes szögpárok
- Szögfelezés; 60, 30 és 90 fokos szögek szerkesztése
- Szabályos ötszög szerkesztése adott oldalhosszból
- Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között
- Középponti és kerületi szögek tétele
- Thalész-tétel
- Befogó- és magasságtétel
- Szinusztétel
- Koszinusztétel
- José Matos: [The Historical Development of the Concept of Angle] (A szög fogalmának történeti fejlődése ). (Pdf, angol nyelv). The Mathematics Educator Online, 1. évf. 1. sz. Beill. 2010. szeptember 19.