„Átló” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a r2.7.1) (Bot: következő hozzáadása: id:Diagonal |
a r2.7.3) (Bot: sn:Danhamakonya cseréje a következőre: sn:Guramakonya; kozmetikai változtatások |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
A [[matematika|matematikában]] az '''átló''' szónak [[geometria]]i jelentése van, de használják még a [[Mátrix (matematika)| |
A [[matematika|matematikában]] az '''átló''' szónak [[geometria]]i jelentése van, de használják még a [[Mátrix (matematika)|mátrixoknál]] is. |
||
== Sokszögek == |
== Sokszögek == |
||
11. sor: | 11. sor: | ||
:<math>d= \frac{(n - 3) \cdot n}{2}.\, </math> |
:<math>d= \frac{(n - 3) \cdot n}{2}.\, </math> |
||
===Hossza=== |
=== Hossza === |
||
A két szomszédos csúcs közötti átló ''d'' hossza a [[koszinusztétel]]lel számítható: |
A két szomszédos csúcs közötti átló ''d'' hossza a [[koszinusztétel]]lel számítható: |
||
20. sor: | 20. sor: | ||
A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek. |
A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek. |
||
*A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
* A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
||
:<math>d_3 = \sqrt{(s_0-s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2))^2 + (s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2\cdot \sin((\varphi_1+\varphi_2))^2}</math> |
:<math>d_3 = \sqrt{(s_0-s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2))^2 + (s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2\cdot \sin((\varphi_1+\varphi_2))^2}</math> |
||
*A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
* A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
||
:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
||
d_4^2 & = (s_0 - & s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2) - s_3 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2\\ |
d_4^2 & = (s_0 - & s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2) - s_3 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2\\ |
||
& + ( & s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) + s_3 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2 \end{align} </math> |
& + ( & s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) + s_3 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2 \end{align} </math> |
||
*Az ''n''-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
* Az ''n''-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
||
:<math>d_n =\sqrt{ \left( s_0 + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i \cdot s_i \cdot \cos \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2 + \left( \sum_{i=1}^{n-1} - (-1)^i \cdot s_i \cdot \sin \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2}</math> |
:<math>d_n =\sqrt{ \left( s_0 + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i \cdot s_i \cdot \cos \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2 + \left( \sum_{i=1}^{n-1} - (-1)^i \cdot s_i \cdot \sin \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2}</math> |
||
===Speciális esetek=== |
=== Speciális esetek === |
||
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek. |
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek. |
||
*Egy ''a'' és ''b'' oldalú [[paralelogramma]] átlóinak hossza |
* Egy ''a'' és ''b'' oldalú [[paralelogramma]] átlóinak hossza |
||
: <math>e = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}</math> |
: <math>e = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}</math> |
||
és |
és |
||
: <math>f = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}</math>. |
: <math>f = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\alpha}</math>. |
||
*Az ''a'' és ''b'' oldalú [[téglalap]] átlójának hossza a [[Pitagorasz-tétel]]lel számítható: |
* Az ''a'' és ''b'' oldalú [[téglalap]] átlójának hossza a [[Pitagorasz-tétel]]lel számítható: |
||
: <math>d = \sqrt{a^2+b^2}</math>. |
: <math>d = \sqrt{a^2+b^2}</math>. |
||
*Az ''a'' oldalú [[négyzet]] átlója: |
* Az ''a'' oldalú [[négyzet]] átlója: |
||
: <math>d = a\sqrt{2}</math>. |
: <math>d = a\sqrt{2}</math>. |
||
*Az ''a'' oldalú szabályos [[ötszög]] átlója: |
* Az ''a'' oldalú szabályos [[ötszög]] átlója: |
||
: <math>d = \frac{a}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)</math>. |
: <math>d = \frac{a}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)</math>. |
||
*Az ''a'' oldalú szabályos [[hatszög]]ben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza |
* Az ''a'' oldalú szabályos [[hatszög]]ben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza |
||
: <math>d = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math>. |
: <math>d = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math>. |
||
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza |
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza |
||
: <math>d = 2 a</math>. |
: <math>d = 2 a</math>. |
||
==Poliéderek== |
== Poliéderek == |
||
[[Fájl:Cube diagonals.svg|thumb|right|[[Kocka]] egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC').]] |
[[Fájl:Cube diagonals.svg|thumb|right|[[Kocka]] egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC').]] |
||
A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját. |
A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját. |
||
*Egy poliéder '''lapátlója''' a poliéder egy lapjának átlója. |
* Egy poliéder '''lapátlója''' a poliéder egy lapjának átlója. |
||
*Egy poliéder '''testátlója''' egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza. |
* Egy poliéder '''testátlója''' egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza. |
||
===A testátlók száma=== |
=== A testátlók száma === |
||
A testátlók száma ezzel a képlettel számítható: |
A testátlók száma ezzel a képlettel számítható: |
||
:<math>Z = \frac{C (C-1)}{2} - E - \sum_{i=1}^L \frac{N_i(N_i-3)}{2}</math>, |
:<math>Z = \frac{C (C-1)}{2} - E - \sum_{i=1}^L \frac{N_i(N_i-3)}{2}</math>, |
||
69. sor: | 69. sor: | ||
:<math>Z = 28 - 12- 6 \cdot 2 = 4</math> |
:<math>Z = 28 - 12- 6 \cdot 2 = 4</math> |
||
===A poliéder átlóinak hossza=== |
=== A poliéder átlóinak hossza === |
||
Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható. |
Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható. |
||
*Egy ''a'', ''b'' és ''c'' élű téglatest testátlójának hossza <math>d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>. |
* Egy ''a'', ''b'' és ''c'' élű téglatest testátlójának hossza <math>d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>. |
||
*Speciális esetként adódik a kocka testátlója: <math>d = a\sqrt{3}</math>. |
* Speciális esetként adódik a kocka testátlója: <math>d = a\sqrt{3}</math>. |
||
:Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg. |
:Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg. |
||
== Mátrixok == |
== Mátrixok == |
||
A [[négyzetes mátrix]]oknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a [[mátrix (matematika)| |
A [[négyzetes mátrix]]oknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a [[mátrix (matematika)|mátrixban]] levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek [[vektor]]a. |
||
Az [[egységmátrix]]ban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll: |
Az [[egységmátrix]]ban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll: |
||
102. sor: | 102. sor: | ||
A főátlóra eső elemek összege a [[mátrix nyoma]], ami egyenlő a mátrix [[sajátérték]]einek összegével. |
A főátlóra eső elemek összege a [[mátrix nyoma]], ami egyenlő a mátrix [[sajátérték]]einek összegével. |
||
==Lásd még== |
== Lásd még == |
||
*[[Diagonális mátrix]] |
* [[Diagonális mátrix]] |
||
*[[Tridiagonális mátrix]] |
* [[Tridiagonális mátrix]] |
||
==Források== |
== Források == |
||
*Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás |
* Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás |
||
*Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1. |
* Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1. |
||
{{csonk-dátum|csonk-matematika|2005 augusztusából}} |
{{csonk-dátum|csonk-matematika|2005 augusztusából}} |
||
143. sor: | 143. sor: | ||
[[sk:Uhlopriečka]] |
[[sk:Uhlopriečka]] |
||
[[sl:Diagonala]] |
[[sl:Diagonala]] |
||
[[sn: |
[[sn:Guramakonya]] |
||
[[sq:Diagonalja]] |
[[sq:Diagonalja]] |
||
[[sw:Ulalo]] |
[[sw:Ulalo]] |
A lap 2012. július 11., 03:11-kori változata
A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is.
Sokszögek
Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.
Egy n oldalú sokszögnek d számú különböző átlója lehet, mindegyik csúcsból indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:
- (n − 3) × n,
mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így:
Hossza
A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:
ahol s0 és s1 a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.
A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.
- A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
- A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
- Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
Speciális esetek
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.
- Egy a és b oldalú paralelogramma átlóinak hossza
és
- .
- Az a és b oldalú téglalap átlójának hossza a Pitagorasz-tétellel számítható:
- .
- Az a oldalú négyzet átlója:
- .
- Az a oldalú szabályos ötszög átlója:
- .
- Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza
- .
- A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza
- .
Poliéderek
A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját.
- Egy poliéder lapátlója a poliéder egy lapjának átlója.
- Egy poliéder testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza.
A testátlók száma
A testátlók száma ezzel a képlettel számítható:
- ,
.ahol C a csúcsok száma, E az éleké, L a lapoké, és az i-edik lap éleinek száma Ni
Például a paral(l)elepipedonokra:
- :
A poliéder átlóinak hossza
Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható.
- Egy a, b és c élű téglatest testátlójának hossza .
- Speciális esetként adódik a kocka testátlója: .
- Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.
Mátrixok
A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.
Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:
Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:
Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.
A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.
A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.
Lásd még
Források
- Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
- Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.