Matematikai logika

A matematikai logika a matematika egyik fejezete, a matematikai rendszereket, a matematikai bizonyításokat, matematikai módszerekkel vizsgálja. A matematikai logika célja a helyes következtetési sémák, helyes definíciók vizsgálata, beleértve a matematikai logika által alkalmazott következtetési sémákat, szabályokat, definíciókat is.

A matematikai logika korábban a szimbolikus logika részét képezte, abból fejlődött ki azáltal, hogy a szimbolikus logika formális módszereit kezdte alkalmazni a matematikai következtetések és bizonyítások vizsgálatára.

Története

Kezdetben a logikát a filozófia részének tekintették, azonban a paradoxonok felfedezése a naiv halmazelméletben kiváltotta a struktúraosztályok axiomatizálásának az igényét és ezzel párhuzamosan annak vizsgálatát, hogy mit tekinthetünk helyes definíciónak, illetve helyes következtetésnek. Ehhez a bizonyítások formalizálására volt szükség, illetve arra, hogy minden bizonyításról belássuk, megfelelnek egy adott formalizmusnak, leírhatók egy adott formális nyelven. Ezt a feladatot, illetve ezen túlmenően az így formalizált állítások ellentmondásmentességének a bizonyítását tűzte ki célul David Hilbert a századfordulón. 1910–1913 között Bertrand Russell és Whitehead a Hilbert által kitűzott célok többségét megvalósították, eltekintve az ellentmondásmentesség bizonyításától – nem sokkal később Gödel bebizonyította, hogy az ellentmondásmentesség bizonyítása az így létrehozott formalizmus keretein belül nem is lehetséges.

Lásd még

• Ítéletlogika
• Bizonyításelmélet
• Modellelmélet
• Formális nyelv
• Elsőrendű nyelv
• Konstruktivizmus
• Szimbolikus logika

Külső hivatkozások

• Csirmaz, László & Hajnal, András: Matematikai logika egyetemi jegyzet, ELTE Bp, 1994 (Postscript változat)
• Komjáth Péter, Matematikai logika (tanárszakos jegyzet)
• Encyclopaedia of Mathematics, Mathematical logic
• Mathematical Logic around the world