Ötödfokú egyenlet

Egy ötödfokú polinom képe

A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:

$ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f=0,\,$

ahol $a,b,c,d,e,f\,$ egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok, vagy a komplex számok elemei, valamint $a\neq 0.$

Mivel páratlan fokú, ezért általában hasonlít a képe a harmadfokú egyenlet képéhez, azzal a kivétellel, hogy egy további lokális maximum és minimum pontja van. A deriváltja egy negyedfokú függvény.

Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása

Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon $x$ értékek, melyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.

Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az $n$-edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel–Ruffini-tétel, melyet először 1824-ben publikáltak, mint az egyik első alkalmazását az algebrai csoportelméletnek. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre, mely nem fejezhető így ki a $x^{5}-x+1=0$. Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.

A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre-módszer, vagy a Jenkins–Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd vagy magasabb fokú egyenletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.

Megoldható ötödfokú egyenletek

Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például $x^{5}-x^{4}-x+1=0\,$ felírható mint $(x^{2}+1)(x+1)(x-1)^{2}=0\,$. Más ötödfokú egyenlet mint például a $x^{5}-x+1=0\,$ nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois-elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young, és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthatókkal Bring-Jerrard formában,

$x^{5}+ax+b=0\,$

gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:

$x^{5}+{\frac {5\mu ^{4}(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}x+{\frac {4\mu ^{5}(2\nu +1)(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}=0$

ahol $\mu$ és $\nu$ racionálisak. 1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,

$x^{5}+{\frac {5e^{4}(\pm 4c+3)}{c^{2}+1}}x+{\frac {-4e^{5}(\pm 11+2c)}{c^{2}+1}}=0.$

A kapcsolatot a 1885-i és a 1994-i parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk

$b={\frac {4}{5}}\left(a+20\pm 2{\sqrt {(20-a)(5+a)}}\right)$

ahol

$a={\frac {5(4\nu +3)}{\nu ^{2}+1}}$

Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet

$z^{5}+a\mu ^{4}z+b\mu ^{5}=0\,$

racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének

$y^{2}=(20-a)(5+a)\,$

valamely racionális $a,y$-ra.

Mivel a Tschirnhaus-transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal.

Források

• Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.