Negyedfokú egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Negyedfokú függvény grafikonja.
Az x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0).
A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény, a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.

Általános alakja: 

Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.

Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.

Az általános negyedfokú egyenlet gyökei[szerkesztés]

Ha

és és esetén:



ellenkező esetben:


Ha

vagy esetén:




ellenkező esetben mind a négy gyök valós:


Megjegyzések:

, ,

, , ,





Viète-formulák[szerkesztés]

Az általános negyedfokú egyenlet megoldása[szerkesztés]

Mivel


ebből következik, hogy az


alakú negyedfokú egyenlet egyik gyöke

Ez igaz marad akkor is ha vagy tehát az


alakú negyedfokú egyenlet gyökei:


Ebből következik, hogy az negyedfokú egyenlet gyökeit úgy kaphatjuk meg ha az


egyenletrendszerből kiszámoljuk az ismeretleneket függvényében.
Kicsit átrendezve:


Amiből felírható a következő hatodfokú egyenlet:


melynek gyökei kiszámíthatóak az általános harmadfokú egyenlet megoldóképletével.
Ennek a hatodfokú egyenletnek hat gyöke van de csak arra a háromra van szükség melyekre teljesül az

összefüggés.



Ha akkor:


vagyis

pedig egyszerüsíthető alkalmazva a gyökvonást komplex számból:

ennek eredményeként:


Mivel:


ezért csak úgy teljesül ha



Tehát pozitív delta esetén a gyökok:


Ha és és akkor vagyis komplex szám és ebben az esetben a gyökök:



Ha akkor:


Ha és akkor komplex számok lesznek és miatt -nél bejön egy negatív előjel vagyis ekkor a gyökök:



Ellenkező esetben mind a négy gyök valós lesz:



Az általános negyedfokú egyenlet az helyettesítéssel:


alakra hozható és a fenti módszerrel megoldható, vagyis az általános egyenlet gyökei:

lesznek.

A valós együtthatós negyedfokú egyenlet megoldása Ludovico Ferrari módszere szerint[szerkesztés]

Az negyedfokú egyenlet

Ludovico Ferraritól (1522-1565) származó módszer szerinti megoldása két másodfokú egyenlet megoldására vezethető vissza. Előbb azonban meg kell oldani egy harmadfokú egyenletet, melynek eredményét a másodfokú egyenletek együtthatóinak képzésekor fogjuk felhasználni. A harmadfokú egyenlet: ahol

Megoldása a Cardano képlettel történik. -t úgy kapjuk meg, hogy a harmadfokú egyenlet egyik valós megoldásához -ot hozzáadjuk: . A másodfokú egyenletek:

Kettős műveleti jelnél az alsót akkor kell használni, ha . Tekintettel arra, hogy ezeknek a formuláknak az alkalmazása kissé bonyolult (főleg a és segédváltozók kiszámítása) a számítási munkát érdemes számítógépre bízni. A negyedfokú egyenlet Ludovico Ferrari szerinti megoldása (javítva és továbbfejlesztve, PASCAL nyelven megírva) így néz ki:

PROCEDURE negyedfoku (a,b,c,d:REAL);
VAR p,q,z,z2,z3,m,n,w1,w2,w3:REAL;
BEGIN
  p:=(a*c/4-b*b/12-d)/3;
  q:=(a*b*c/24-a*a*d/8-b*b*b/108+b*d/3-c*c/8)/2;
  harmadfoku(p,q,b/6,z,w1,z2,w2,z3,w3);
  IF (w2=0) AND (z2=z3) THEN IF z2>z THEN z:=z2;
  m:=ngyok(a*a/4-b+2*z); 
  n:=ngyok(z*z-d);
  IF a*z-c < -1.e-7 THEN n := -n;
  masodfoku(a/2+m, z+n, x[1],y[1],x[2],y[2]);
  masodfoku(a/2-m, z-n, x[3],y[3],x[4],y[4])
END;

Látható, hogy semmi mást nem csinál, minthogy meghívja a "harmadfokú" eljárást (egyszer), majd a "másodfokú" eljárást (kétszer egymás után), miután kiszámította azok "bemeneti" együtthatóit. [1]

Források[szerkesztés]

  1. Benkő Miklós, Budapest, Hungary
  • Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 77-78. oldal
  • Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 112-113. és 116. oldal.

További információk[szerkesztés]