Negyedfokú egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Negyedfokú függvény grafikonja.
Az x tengellyel való metszéspontok a függvény zérushelyei (y = 0).
A negyedfokú egyenlet olyan egyenlet melynek az egyik oldalán lévő kifejezés egy negyedfokú polinomfüggvény, a másik oldalán lévő kifejezés pedig zéró.

Általános alakja: 

Megoldását Gerolamo Cardano inasa és tanítványa, Lodovico Ferrari (1522-1565) fedezte fel; a megoldás Cardano Ars magna című munkájában jelent meg.

Ez a legmagasabb fokú egyenlet, amely általános alakban megoldható; ezt Niels Henrik Abel bizonyította be 1824-ben.

Az általános negyedfokú egyenlet gyökei[szerkesztés]

Ha

és és esetén:



ellenkező esetben:


Ha

vagy esetén:




ellenkező esetben mind a négy gyök valós:


Megjegyzések:

, ,


, , ,






Az általános negyedfokú egyenlet megoldása[szerkesztés]

Mivel


ebből következik, hogy az


alakú negyedfokú egyenlet egyik gyöke

Ez igaz marad akkor is ha vagy tehát az


alakú negyedfokú egyenlet gyökei:


Ebből következik, hogy az negyedfokú egyenlet gyökeit úgy kaphatjuk meg ha az


egyenletrendszerből kiszámoljuk az ismeretleneket függvényében.
Kicsit átrendezve:


Amiből felírható a következő hatodfokú egyenlet:


melynek gyökei kiszámíthatóak az általános harmadfokú egyenlet megoldóképletével.
Ennek a hatodfokú egyenletnek hat gyöke van de csak arra a háromra van szükség melyekre teljesül az

összefüggés.



Ha akkor:


vagyis

pedig egyszerüsíthető alkalmazva a gyökvonást komplex számból:

ennek eredményeként:


Mivel:


ezért csak úgy teljesül ha



Tehát pozitív delta esetén a gyökok:


Ha és és akkor vagyis komplex szám és ebben az esetben a gyökök:



Ha akkor:


Ha és akkor komplex számok lesznek és miatt -nél bejön egy negatív előjel vagyis ekkor a gyökök:



Ellenkező esetben mind a négy gyök valós lesz:



Az általános negyedfokú egyenlet az helyettesítéssel:


alakra hozható és a fenti módszerrel megoldható, vagyis az általános egyenlet gyökei:

lesznek.

Források[szerkesztés]

  • Matematikai kisenciklopédia. szerk. Lukács Ernőné és Tarján Rezsőné. Budapest: Gondolat. 1968. 77-78. oldal
  • Kleine Enzyklopädie. Mathematik. Leipzig: VEB Verlag Enzyklopädie. 1970. 112-113. és 116. oldal.

További információk[szerkesztés]

A negyedfokú egyenlet gyökei megtekinthetők itt.