Ötödfokú egyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Egy ötödfokú polinom képe

A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:

ahol egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok vagy a komplex számok elemei, valamint .

Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása[szerkesztés]

Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon értékek, amelyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.

Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az -edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel–Ruffini-tétel, amelyet először 1824-ben publikáltak mint az algebrai csoportelmélet egyik első alkalmazását. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre, ami nem fejezhető így ki: . Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.

A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges, és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre-módszer vagy a Jenkins–Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd- vagy magasabb fokú egyenletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz, és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.

Megoldható ötödfokú egyenletek[szerkesztés]

Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például felírható mint . Más ötödfokú egyenlet, mint például a nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinomegyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois-elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthatókkal Bring-Jerrard formában,

gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:

,

ahol és racionálisak.


1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,

.


A kapcsolat az 1885-ös és az 1994-es parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk:

,

ahol

.

Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet

racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének:

valamely racionális -ra.

Mivel a Tschirnhaus-transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal.

Források[szerkesztés]