Raabe–Duhamel-módszer
A matematikában a Raabe-kritérium vagy Raabe–Duhamel-szabály egy tétel bizonyos sorozatok konvergenciájának vagy divergenciájának megállapítására szigorúan pozitív reálértékekkel, abban az esetben, ha a közvetlen következtetés lehetetlen d'Alembert-szabállyal. Nevét Joseph Ludwig Raabe és Jean-Marie Duhamel matematikusokról kapta.
Megfogalmazás
[szerkesztés]1. verzió
[szerkesztés]Legyen egy végtelen sorozat
pozitív valós összegzőkkel , amelyek monoton csökkenő sorozatot alkotnak.
Ezután az konvergál, ha a sorozat
fentről határolja. Ha ennek a sorozatnak minden tagja nagyobb, mint , akkor divergens.
2. verzió
[szerkesztés]Legyen adott egy végtelen sorozat
Akkor abszolút konvergens, ha valamilyen szám esetén majdnem mindig (azaz esetén) érvényes:
- .
Azonban eltér, ha a szinte mindig meghiúsul.
Megjegyzések
[szerkesztés]Mint mindig, amikor a sorozatok konvergencia viselkedését vizsgáljuk, ennek a kritériumnak csak majdnem minden index esetében kell teljesülnie. Váltással a feltétel végrehajtja az becslését
a majoráns kritérium szerint, ahol a teleszkópösszeg, ahol a nulla sorozat felett .
A fentiekkel egy sorozat maradék egyenlőtlenséget kapunk:
- .
Alkalmazhatósága
[szerkesztés]Ezeket a kritériumokat nehezebb alkalmazni, mint a gyökkritériumot vagy a hányadoskritériumot, de gyakran bizonytalan esetekben továbbra is konvergenciaállításokat adnak, pl. hatványsorokban a konvergenciarégió pereme viselkedésének meghatározására szolgál majd.
Irodalom
[szerkesztés]- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. Springer 1996 (6. Aufl.), ISBN 3-540-59111-7
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Kriterium von Raabe című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.