Ugrás a tartalomhoz

Raabe–Duhamel-módszer

Ellenőrzött
A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikában a Raabe-kritérium vagy Raabe–Duhamel-szabály egy tétel bizonyos sorozatok konvergenciájának vagy divergenciájának megállapítására szigorúan pozitív reálértékekkel, abban az esetben, ha a közvetlen következtetés lehetetlen d'Alembert-szabállyal. Nevét Joseph Ludwig Raabe és Jean-Marie Duhamel matematikusokról kapta.

Megfogalmazás

[szerkesztés]

1. verzió

[szerkesztés]

Legyen egy végtelen sorozat

pozitív valós összegzőkkel , amelyek monoton csökkenő sorozatot alkotnak.

Ezután az konvergál, ha a sorozat

fentről határolja. Ha ennek a sorozatnak minden tagja nagyobb, mint , akkor divergens.

2. verzió

[szerkesztés]

Legyen adott egy végtelen sorozat

Akkor abszolút konvergens, ha valamilyen szám esetén majdnem mindig (azaz esetén) érvényes:

.

Azonban eltér, ha a szinte mindig meghiúsul.

Megjegyzések

[szerkesztés]

Mint mindig, amikor a sorozatok konvergencia viselkedését vizsgáljuk, ennek a kritériumnak csak majdnem minden index esetében kell teljesülnie. Váltással a feltétel végrehajtja az becslését

a majoráns kritérium szerint, ahol a teleszkópösszeg, ahol a nulla sorozat felett .

A fentiekkel egy sorozat maradék egyenlőtlenséget kapunk:

.

Alkalmazhatósága

[szerkesztés]

Ezeket a kritériumokat nehezebb alkalmazni, mint a gyökkritériumot vagy a hányadoskritériumot, de gyakran bizonytalan esetekben továbbra is konvergenciaállításokat adnak, pl. hatványsorokban a konvergenciarégió pereme viselkedésének meghatározására szolgál majd.

Irodalom

[szerkesztés]

Fordítás

[szerkesztés]
  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Kriterium von Raabe című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.