Egyenlőtlenség (matematika)

Ha két szám vagy kifejezés a > (nagyobb), < (kisebb), ≠ (nem egyenlő), ≥ (nagyobb vagy egyenlő), ≤ (kisebb vagy egyenlő) jelek valamelyikével van összekapcsolva, akkor azt egyenlőtlenségnek nevezzük. Rendezett testek fölött mindegyik iránynak van értelme, egyébként csak ≠ értelmű egyenlőtlenségek írhatók fel.

Az egyenlőtlenségek az egyenletekhez hasonlóan osztályozhatók. A csak algebrai kifejezéseket és számokat tartalmazó egyenlőtlenségek algebraiak, a többi egyenlőtlenség transzcendens. A transzcendens egyenlőtlenségeket tovább osztályozzák a bennük levő nem algebrai kifejezések szerint, így beszélnek trigonometrikus, logaritmusos vagy exponenciális egyenlőtlenségekről. Ha egy egyenlőtlenségben több változó is szerepel, akkor az egyenlőtlenség többváltozós.

Tulajdonságai

1. Ha az egyenlőtlenség két oldalát felcseréljük, annak értelme ellenkezőre változik:

ha a > b, akkor b < a.

2. Tranzitív tulajdonság:

ha a > b és b > c, akkor a > c.

3. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalát tetszés szerinti számmal növeljük vagy csökkentjük, annak értelme nem változik:

ha a > b, akkor a + c > b + c és a – c > b – c, vagy

ha a < b, akkor a + c < b + c és a – c < b – c.

4. Megegyező értelmű egyenlőtlenségek bal és jobb oldalait külön-külön összeadva, az egyenlőtlenség értelme nem változik meg:

ha a > b és c > d, akkor a + c > b + d, vagy

ha x < t és y < u, akkor x + y < t + u.

5. Két ellentétes értelmű egyenlőtlenség bal és jobb oldalait egymásból kivonva a kisebbítendővel megegyező értelmű egyenlőtlenséget kapunk:

ha a > b és c < d, akkor a – c > b – d, vagy

ha a < b és c > d, akkor a – c < b – d.

6. Az egyenlőtlenség értelme nem változik, ha mindkét oldalát egy tetszés szerinti pozitív számmal megszorozzuk vagy elosztjuk:

ha a > b és m > 0, akkor am > bm és ${\frac {a}{m}}>{\frac {b}{m}}$.

7. Az egyenlőtlenség értelme ellentétére változik, ha mindkét oldalt egy tetszőleges negatív számmal szorozzuk vagy osztjuk:

ha a > b és n < 0, akkor an < bn és ${\frac {a}{n}}<{\frac {b}{n}}$.

8. Ha az egyenlőtlenség két oldalának előjele megegyezik, a két oldal reciprokát véve az egyenlőtlenség értelme ellenkezőjére változik:

ha a > b > 0, , akkor ${\frac {1}{a}}<{\frac {1}{b}}$, valamint

ha a < b < 0, akkor ${\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$.

9. Ha az egyenlőtlenség mindkét oldalán pozitív értékű mennyiség szerepel, akkor mindkét oldal tetszőleges pozitív egész kitevőjű hatványát véve, vagy mindkét oldalból tetszőleges pozitív egész gyökkitevőjű gyököt vonva, az egyenlőtlenség értelme nem változik:

a > b > 0 és n > 0 egész szám, akkor $a^{n}>b^{n}$ és ${\sqrt[{n}]{a}}>{\sqrt[{n}]{b}}$

10. Ha ugyanazt a monoton függvényt alkalmazzuk mindkét oldalra, akkor az egyenlőtlenség iránya megmarad, ha a függvény monoton nő, és megfordul, ha monoton csökken.

Nevezetes egyenlőtlenségek

• Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség
• Számtani és négyzetes közép közötti egyenlőtlenség
• Mértani és harmonikus közép közötti egyenlőtlenség
• Hatványközepek közötti egyenlőtlenség
• Bernoulli-egyenlőtlenség
• Hölder-egyenlőtlenség
• Jensen-egyenlőtlenség
• Cauchy–Bunyakovszkij–Schwarz-egyenlőtlenség

Komplex számok és vektorok

A komplex számok nem alkotnak rendezett testet, mivel a –1 felírható négyzetösszegként. A lexikografikus rendezésekre viszont teljesül, hogy ha a ≤ b akkor a + c ≤ b + c. Ugyanez a szorzásra már nem igaz.

A komplex számokhoz hasonlóan az egynél magasabb dimenziós vektorok sem rendezhetők, de a lexikografikus rendezéseknek megvannak a komplex számok körében is teljesülő tulajdonságai. A szorzásra való viselkedés vizsgálatához inverzekre is szükség lenne, amik egy általános vektortérben nincsenek.

Meg kell jegyezni, hogy a lexikografikus rendezés nem trichotóm.

Egyenlőtlenség-rendszerek

Ha több egyenlőtlenség közös megoldásait keressük, akkor egyenlőtlenség-rendszerekhez jutunk. Itt legtöbbször több változós algebrai egyenlőtlenségekről van szó. Ezek az egyenlőtlenség-rendszerek a kombinatorikus optimalizálás és az operációkutatás területén fontosak, ahol is az algebrai egyenletrendszerek megoldáshalmazán optimalizálnak.

Források

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G.. Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press (1999). ISBN 0-521-05206-8 
• Beckenbach, E.F., Bellman, R.. An Introduction to Inequalities. Random House Inc (1975). ISBN 0-394-01559-2 
• Drachman, Byron C., Cloud, Michael J.. Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag (1998). ISBN 0-387-98404-6 
• Murray S. Klamkin. „"Quickie" inequalities” (PDF). [2004. január 28-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2010. december 5.)  
• Arthur Lohwater: Introduction to Inequalities. Online e-book in PDF format, 1982
• Harold Shapiro: Mathematical Problem Solving 1972–1985. The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan
• 3rd USAMO. [2008. február 3-i dátummal az eredetiből archiválva].
• Ehrgott, Matthias. Multicriteria Optimization. Springer-Berlin (2005). ISBN 3-540-21398-8 
• Steele, J. Michael. The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge University Press (2004). ISBN 978-0521546775