A polinombázisok bázisok a polinomok vektorterében. A legfeljebb n-edfokú polinomok n+1 dimenziós vektorterében az általában használt polinombázisok első n+1, legfeljebb n-edfokú eleme bázist ad.
Egyváltozós esetben a szóba jövő polinomok értelmezhetők a valós számokon, ennek egy intervallumán vagy a komplex számok fölött. Többnyire valós számok fölötti polinomokkal foglalkozunk.
Az elméleti fizikában fontos szerepet kapnak a polinombázisok, például az elektrodinamikában és a kvantummechanikában.
Ortogonális polinomok[szerkesztés]
Polinomok esetén a bezárt szög meghatározása a következőképpen történik: legyen két polinom a P(x) és a Q(x). Általánosított skalárszorzatuk
![{\displaystyle \langle P(x),Q(x)\rangle :=\int \limits _{a}^{b}\varrho (x)\,P(x)\,Q(x)\,{\rm {d}}x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41c97c8a10e1e171bbdc15aaf3b471778be761b4)
ahol [a, b] adott intervallum és ρ(x) pedig adott súlyfüggvény, a közrezárt szög pedig
![{\displaystyle \theta :=\arccos \left({\frac {\langle P(x),Q(x)\rangle }{|P(x)|\cdot |Q(x)|}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68238d99d8ad70ad882c6de29eb6026dcca18dd)
ahol az arccos() a koszinuszfüggvény inverze, a | | pedig az L2-normát jelöli:
![{\displaystyle |P(x)|:={\sqrt {\langle P(x),P(x)\rangle }}={\sqrt {\int \limits _{a}^{b}\varrho (x)\,P^{2}(x)\,{\rm {d}}x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/befd3c8afb32e1b322354ed14db15ff921144c89)
Két nem nulla normájú polinom akkor merőleges (más szóval ortogonális), ha a fentiekben definiált Θ közrezárt szög 90°, azaz akkor és csak akkor, ha a skalárszorzatuk éppen nulla:
![{\displaystyle \langle P(x),Q(x)\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27516cc11b0f3936b04822482886cf3b41d74406)
Egy nulla normájú polinomot definíció szerint ortogonálisnak tekintünk minden más polinommal. Könnyen belátható a definícióból, hogy az ortogonalitás szimmetrikus reláció, vagyis ha P(x) és Q(x) ortogonális polinomok, akkor Q(x) és P(x) is ortogonálisak.
Vegyük a P(x) = 2x + 3 és a Q(x) = 5x2 + x − 17/9. másodfokú függvényeket! Ezek ortogonálisak a −1 és 1 közötti intervallumon a ρ(x)=1 súlyfüggvény mellett. Szorzatuk 10x3 + 17x2 − 7/9 x − 17/3 és:
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad \int _{-1}^{1}\left(10x^{3}+17x^{2}-{7 \over 9}x-{17 \over 3}\right)\,dx=\\[6pt]&=\left[{5 \over 2}x^{4}+{17 \over 3}x^{3}-{7 \over 18}x^{2}-{17 \over 3}x\right]_{-1}^{1}=\\[6pt]&=\left({5 \over 2}(1)^{4}+{17 \over 3}(1)^{3}-{7 \over 18}(1)^{2}-{17 \over 3}(1)\right)-\left({5 \over 2}(-1)^{4}+{17 \over 3}(-1)^{3}-{7 \over 18}(-1)^{2}-{17 \over 3}(-1)\right)=\\[6pt]&={19 \over 9}-{19 \over 9}=0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b9618e14b5705534f1283d3b5b92c716c5664f)
Egy nem ortogonális bázis[szerkesztés]
Valós számok felett értelmezett legfeljebb n-ed fokú egyváltozós polinomok esetén természetesen adódó bázis az (1, x, x2, x3, …, xn) választás. Ezek a bázist alkotó polinomok azonban nagyon különböző szögeket zárnak be egymással.
Könnyen ellenőrizhető ugyanis, hogy a −1 és 1 közötti intervallumon a ρ(x)=1 súlyfüggvény mellett
![{\displaystyle |1|={\sqrt {2}},\,|x|=0,\,|x^{2}|={\sqrt {\frac {2}{3}}},\,|x^{3}|=0,\,|x^{4}|={\sqrt {\frac {2}{5}}},\,|x^{5}|=0,\,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b52b4f70f3c9184994c955772a57151adf6d361)
![{\displaystyle \langle 1,1\rangle =2,\,\langle 1,x\rangle =0,\,\langle 1,x^{2}\rangle ={\frac {2}{3}},\,\langle 1,x^{3}\rangle =0,\,\langle 1,x^{4}\rangle ={\frac {2}{5}},\,\langle 1,x^{5}\rangle =0,\,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e57a088ee36e43c0399b107150a16830db3886ff)
![{\displaystyle \langle x,x\rangle ={\frac {2}{3}},\,\langle x,x^{2}\rangle =0,\,\langle x,x^{3}\rangle ={\frac {2}{5}},\,\langle x,x^{4}\rangle =0,\,\langle x,x^{5}\rangle ={\frac {2}{7}},\,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcabdbde4ad512e8f376f2c0fee2aa33ca455e8)
![{\displaystyle \langle x^{2},x^{2}\rangle ={\frac {2}{5}},\,\langle x^{2},x^{3}\rangle =0,\,\langle x^{2},x^{4}\rangle ={\frac {2}{7}},\,\langle x^{2},x^{5}\rangle =0,\,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3527d7ef87bc8587e1d64b06b2b1aeee29f5e4b0)
Az 1 és az x2 által bezárt szög
![{\displaystyle \theta _{1}=\arccos \left({\frac {\langle 1,x^{2}\rangle }{|1|\cdot |x^{2}|}}\right)=\arccos \left({\frac {\frac {2}{3}}{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{3}}}}}\right)=\arccos \left({\frac {\sqrt {3}}{3}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4973ac8d4588aab9a1c6e52d9124e2e2239d9eef)
az 1 és az x4 által bezárt szög
![{\displaystyle \theta _{2}=\arccos \left({\frac {\langle 1,x^{4}\rangle }{|1|\cdot |x^{4}|}}\right)=\arccos \left({\frac {\frac {2}{5}}{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}}}\right)=\arccos \left({\frac {\sqrt {5}}{5}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ae98b4888c0660c2b043477578ee52105765e8d)
az x2 és az x4 által bezárt szög pedig
![{\displaystyle \theta _{3}=\arccos \left({\frac {\langle x^{2},x^{4}\rangle }{|x^{2}|\cdot |x^{4}|}}\right)=\arccos \left({\frac {\frac {2}{7}}{{\sqrt {\frac {2}{3}}}\cdot {\sqrt {\frac {2}{5}}}}}\right)=\arccos \left({\frac {\sqrt {15}}{7}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1199d961ae123042e6e2ccf896043d97c53763)
Belátható, hogy ha továbbmennénk ezzel a számolással, akkor az árkuszkoszinusz-függvény argumentumában mindig különféle 1-nél kisebb számok fognak szerepelni, tehát a bezárt szögek különféle 90°-nál kisebb hegyesszögek lesznek.
A fizikai alkalmazásokban külön gondot jelent a súlyfüggvény is: ilyenkor még ferdébb lehet a bázis, és nehéz lehet a szögek kiszámítása és a bázis használata. Megoldás lehetne ennek megfelelően súlyfüggvényt választani, de sokkal célszerűbb a bázist igazítani a súlyfüggvényhez.
Keressünk most olyan bázist, amelynek adott súlyfüggvény mellett minden eleme minden másikkal párban ortogonális!
Legendre-féle polinomok[szerkesztés]
Természetes gondolat, hogy ha a fenti monomok ilyen hegyes szögeket zárnak be egymással, akkor ortogonalizálni (merőlegesíteni) kell őket.
Pn(x) (n = 1, 2, ...) Legendre-polinomokról akkor beszélünk, ha
- a skalárszorzat a következő:
minden Pn és Pm párra, azaz az intervallum [-1,1], a súlyfüggvény pedig
, és
- a Pn polinomok páronként ortogonálisak egymással e skalárszorzat szerint, és
- minden Pn(x) esetében Pn(1) = 1.
Speciálisan ilyen polinomokat szolgáltat a Gram–Schmidt-féle ortogonalizáló eljárás iteratív alkalmazása az
monomokra.
Az első néhány Legendre-polinom:
![{\displaystyle P_{0}(x)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae79f3c1f989d47802dddcb9a7d78846631e81a)
![{\displaystyle P_{1}(x)=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d62f681eb0aa3c05ca4fce7f2090daf24fa3c83)
![{\displaystyle P_{2}(x)={\frac {1}{2}}(3x^{2}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36028b2e42a0eb4bf1ee15ac59f937932ff109d2)
![{\displaystyle P_{3}(x)={\frac {1}{2}}(5x^{3}-3x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9880b3eab467d0def0f61fcfc0c20cbe103a0b1b)
![{\displaystyle P_{4}(x)={\frac {1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1e5f6794123567cec1238a360349b9bfbdb9243)
![{\displaystyle P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed8feb4bdb7301960dfd18bc5b360d55e23f7292)
Megkaphatók ezzel a rekurziós formulával:
A Legendre-polinomok fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen az elektrodinamikában és a kvantummechanikában.
Jacobi-féle polinomok[szerkesztés]
A Legendre-polinomoknál általánosabb Jacobi-féle polinomok kétparaméteres családot alkotnak. α és β választásától függően különböző ortogonális rendszerek adódnak.
- Jelölésük: Pn(α,β)(x)
- Tartóintervallumuk: [-1, 1]
- Súlyfüggvény a skalárszorzatban: ρ(x) = (1–x)α(1+x)β
Ebbe a családba tartoznak a Legendre-polinomok is az α = β = 0 értékválasztással.
Különböző speciális eseteit használják, például a kvantumfizikában vagy az interpolációs eljárásokban.
Csebisev-féle polinomok[szerkesztés]
A Jacobi-féle polinomok egy alcsaládja az α=β=1/2 választással.
Ekkor a súlyfüggvény :
, és a [-1,1] intervallumon teljesül:
![{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\left\{{\begin{matrix}0&:n\neq m~~~~~\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{matrix}}\right.\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cddc5a74fe14a47b1322e3b4c5613c5b63a8df46)
Az első néhány Csebisev-polinom:
![{\displaystyle T_{0}(x)=1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15f0ec5f549ec9e577ea480d53e414899d046d0)
![{\displaystyle T_{1}(x)=x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57ffba492071a48ddeb35a2f3f44f34c66ebe724)
![{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b3437acf6bee480eec4f12a42d1e7cf91fd9999)
![{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5947afe741a47076a024b8714e07052a198a27ac)
![{\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee2c167ba5727bf31cada79ab341b89078f41c1)
![{\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f40bba340f5da82c7528eeeb3bad40ffa8002314)
![{\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a63c4d729f374576403384b96efd636fc453ddb0)
![{\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43a77455575b5787fa26380c9debe8fe840b0bb4)
![{\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91f2e57e8d8e33ae08d842f0ddc8671fe359fe01)
![{\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae3076a405a50f0c425e66dab6d6246a95af0f5b)
Megkaphatók ezzel a rekurziós formulával:
![{\displaystyle T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8164774558c9a52f8cbe3a3b77b8ae58bd8d596)
vagy trigonometrikus függvények segítségével:
![{\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02112e1cf9d14069e712832e64e88b36865bb20b)
Az interpolációs eljárásokban kitüntetett szerep jut a Csebisev-polinomok gyökeinek: ha a közelítendő függvényt itt értékelik ki, akkor az interpoláció hibája olyan kicsi lesz, amilyen kicsi csak lehet.
A rekurziós képlettel bizonyíthatók a következők:
- A páratlan fokú Csebisev-polinomok oszthatók x-szel
- A páratlan fokú Csebisev-polinomok páratlan, a páros fokúak csak páros kitevőjű tagokból állnak
- A páros fokúak konstans tagja +1 vagy -1
- A páros fokúak többi együtthatója páros
- T1-től kezdve a főegyüttható 2 hatványa, mégpedig az n-ediké 2n-1
Ha a polinomokra a teljes számegyenesen van szükség, de a távoli értékeket kevésbé akarják figyelembe venni, akkor az Hermite-polinomok megfelelő választásnak bizonyulhatnak. Itt a súlyfüggvény
, és az intervallum a valós számok halmaza.
Ekkor a skalárszorzat
. Eszerint az Hermite-polinomok ortogonálisak.
Az első néhány Hermite-polinom:
![{\displaystyle H_{0}(x)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04fafa99666c4042ad1c8cd34a590c11204066f2)
![{\displaystyle H_{1}(x)=2x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b10fadd301caa4fabe887de3173dbd6c0e7333)
![{\displaystyle H_{2}(x)=(2x)^{2}-2=4x^{2}-2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eaa29cfb55b3df5d57d7549aca3fd4e7894a9b3)
![{\displaystyle H_{3}(x)=(2x)^{3}-6(2x)=8x^{3}-12x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aadf8c2d33100d0ad9b72c104e2d299919b3751)
![{\displaystyle H_{4}(x)=(2x)^{4}-12(2x)^{2}+12=16x^{4}-48x^{2}+12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefaf1adafd9f8c9390c1ea89450ae3fed308fbf)
Megkaphatók ezzel a rekurziós formulával:
Az Hermite-polinomokat is alkalmazzák a fizikában, például a kvantummechanikában.
- Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.
- I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. kiadás Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2
- Milton Abramowitz - Irene Stegun: Abramowitz-Stegun|Pocketbook of Mathematical Functions
- Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill
- Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
- Jegyzet a Schülerforschungszentrum Bad Saulgau -tól [1]