Jacobi-polinomok

A Jacobi-polinomok a $[-1,1]$ intervallumon értelmezett ortogonális polinomok két paraméteres serege. Súlyfüggvényük $(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }$, ahol α, β > -1. A Jacobi-differenciálegyenlet megoldásai. Carl Gustav Jacob Jacobiról nevezték el őket.

Explicit alak

A Jacobi-polinomok explicit alakja:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},$

vagy az ₂F₁ hipergeometrikus függvény segítségével

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={n+\alpha \choose n}\,_{2}F_{1}\left(-n,1+n+\alpha +\beta ;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right).$

Tulajdonságok

Az 1 helyettesítési értéke

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}$.

Szimmetria: páros n-re páros, páratlan n-re páratlan függvények:

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z)\,$

így a ‒1 helyettesítési értéke

$P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.$

Deriválás

A Jacobi-polinomok $k$-adik deriváltja

${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\;\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).$

Speciális esetek

Néhány fontos polinom a Jacobi-polinomok speciális esetének tekinthető:

• α = β = 0: Legendre-polinomok
• a Gegenbauer-polinomok
• a Csebisev-polinomok

Források

• Eric W. Weisstein et al., „Jacobi Polynomial“, at MathWorld.