Jacobi-polinomok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Jacobi-polinomok a [-1,1] intervallumon értelmezett ortogonális polinomok két paraméteres serege. Súlyfüggvényük (1-z)^\alpha(1+z)^\beta, ahol α, β > -1. A Jacobi-differenciálegyenlet megoldásai. Carl Gustav Jacob Jacobiról nevezték el őket.

Explicit alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Jacobi-polinomok explicit alakja:


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) =
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m,

vagy az 2F1 hipergeometrikus függvény segítségével


P_n^{(\alpha,\beta)} (z) =
 {n+\alpha\choose n} \,_2F_1\left(-n,1+n+\alpha+\beta;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right).

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az 1 helyettesítési értéke

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.

Szimmetria: páros n-re páros, páratlan n-re páratlan függvények:

P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z)\,

így a ‒1 helyettesítési értéke

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

Deriválás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Jacobi-polinomok k-adik deriváltja


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) =
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k\; \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z) .

Speciális esetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Néhány fontos polinom a Jacobi-polinomok speciális esetének tekinthető:

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]