Legendre-polinomok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet partikuláris megoldásai. Speciális valós vagy komplex polinomok, amik ortogonális függvényrendszert alkotnak. Fontos szerepet játszanak az elméleti fizikában, különösen a kvantummechanikában és az elektrodinamikában. Adrien-Marie Legendre francia matematikus után kapták nevüket.

Származtatás[szerkesztés]

Ortogonális polinomok konstrukciója[szerkesztés]

Adva legyen az [a,b] intervallum, és egy rajta értelmezett súlyfüggvény. A valós polinomsorozat ortogonális, ha teljesíti az

ortogonalitási relációt minden -re.

Az intervallum a súlyfüggvénnyel ugyanazokat az ortogonális polinomokat adja, mint amiket a Gram-Schmidt ortogonalizáló eljárás iteratív alkalmazása a monomokra, ha még az is teljesül, hogy .

Legendre-differenciálegyenlet[szerkesztés]

A Legendre-polinomok a Legendre-differenciálegyenlet megoldásai:

amelynek ekvivalens alakja

A differenciálegyenlet megoldásának általános alakja

ahol jelöli a Legendre-polinomokat, más néven az elsőfajú Legendre-függvényeket, és a másodfajú Legendre-függvényeket, amelyek nem polinomok.

Jellemzés[szerkesztés]

Az -edik Legendre-polinom racionális együtthatós -edfokú polinom. A Legendre-polinomok többféleképpen is számíthatók, és rekurzívan is előállíthatók.

Minden gyökük valós, és az I = [ − 1,1] intervallumban van. Pn(x) két gyöke között van egy gyöke Pn+1(x)-nek.

Továbbá

Teljes ortogonális rendszer[szerkesztés]

A Legendre-polinomok teljes ortogonális rendszert alkotnak a skalárszorzattal ellátott

Hilbert-téren.

Az ortogonalitás azt jelenti, hogy

minden -re.

, ahol a Kronecker-deltát jelöli.

A teljesség azt jelenti, hogy minden függvény végtelen sorba fejthető a Legendre-polinomok szerint:

a együtthatókkal.

A fizikában és a technikai irodalomban sokszor disztribúciós értelemben tekintik a teljességet:

ahol a Dirac-deltát jelöli.

Előállítás[szerkesztés]

Generátorfüggvény[szerkesztés]

Minden , , -re

Itt a jobb oldali hatványsor konvergenciasugara 1.

Mindezek miatt a függvényt a Legendre-polinomok generátorfüggvénye.

Rodrigues-formula[szerkesztés]

Egy alternatív képlet[szerkesztés]

Előállítás integrálként[szerkesztés]

Minden -re

Rekurziók[szerkesztés]

A Legendre-polinomokra teljesülnek a következő rekurziók:

Az első rekurzió n'=n+1 helyettesítéssel a következő alakba megy át:

Differenciálással

, illetve

Így adódik az a rekurzió, amely magába foglalja a Legendre-polinomok deriváltjait is:

A kezdeti feltételek

és .

-re ismét a fenti képlet adódik kezdeti feltételekkel együtt.

Aszimptotikus formulák[szerkesztés]

A generátorfüggvény szingularitás analíziséből a következő aszimptotikus formulákhoz juthatunk:

amint , rögzített számra.

Az első Legendre-polinomok[szerkesztés]

Az első néhány Legendre-polinom

Az első néhány Legendre-polinom:

Másodfajú Legendre-függvények[szerkesztés]

A Legendre-polinomok rekurziós képletei a másodfajú Legendre-függvényekre is teljesülnek. Így az első Legendre-függvényből kiindulva

Források[szerkesztés]