Hermite-polinomok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Hermite-polinomok olyan polinomok, amelyek kielégítik a következő differenciálegyenletet:

ekvivalens alakban

Explicit alak[szerkesztés]

Az Hermite-polinomok explicit alakban is megadhatók Faà di Bruno képlete szerint:

Az első néhány Hermite-polinom[szerkesztés]

Rekurziós formula[szerkesztés]

Az Hermite-polinomok a következő rekurzióval számíthatók:

Tulajdonságok[szerkesztés]

Mivel minden iterációs lépésben -szel vett szorzat szerepel, azért látszik, hogy n-edfokú, és főegyütthatója . Páros n-re páros függvény, páratlan n-re páratlan. Vagyis

Egy másik lehetőség a definícióra:

Az Hermite-polinomok kielégítik a következő differenciálegyenletet:

Rekurziós formula:

Ortogonális rendszer[szerkesztés]

Az Hermite-polinomok teljesítik ezt az ortogonalitási relációt:

Ez azt jelenti, hogy bizonyos valós függvények sorba fejthetők az Hermite-polinomok szerint.

Alkalmazás[szerkesztés]

Az Hermite-polinomok sokoldalú fizikai alkalmazásaik által válnak jelentőssé. Példa: a kvantummechanikai harmonikus oszcillátor ortonormált megoldásfüggvényeinek előállítása. Ezek az Hermite-függvények, amik a normális eloszlás eloszlásfüggvényével szorozva és megfelelően normálva kaphatók az Hermite-polinomokból.

Források[szerkesztés]

  • I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. kiadás. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2
  • Milton Abramowitz és Irene Stegun: Pocketbook of Mathematical Functions
  • Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill
  • Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
  • A Bad Saulgau tanulói kutatóközpont jegyzete

[1]