Hermite-polinomok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Hermite-polinomok olyan polinomok, amelyek kielégítik a következő differenciálegyenletet:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2}

ekvivalens alakban

H_n(x) = e^{x^2/2} \, \left(x - \frac{\mathrm d}{\mathrm{dx}}\right)^n \, e^{-x^2/2}

Explicit alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Hermite-polinomok explicit alakban is megadhatók Faà di Bruno képlete szerint:

 H_n(x)=(-1)^n \sum_{k_1+2k_2=n} \frac{n!}{k_1!k_2!} (-1)^{k_1+k_2} (2x)^{k_1}

Az első néhány Hermite-polinom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

H_0(x)=1
H_1(x)=2x
H_2(x)= (2x)^2 - 2 = 4x^2-2
H_3(x)= (2x)^3 - 6 (2x) = 8x^3-12x
H_4(x)= (2x)^4 - 12 (2x)^2 + 12 = 16x^4-48x^2+12

Rekurziós formula[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Hermite-polinomok a következő rekurzióval számíthatók:

\qquad H_{n+1}(x) = 2\,x\, H_n(x) - 2\,n\,H_{n-1}(x)
\qquad H_n'(x) = 2\,n\,H_{n-1}(x)

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel minden iterációs lépésben x-szel vett szorzat szerepel, azért látszik, hogy H_n(x) n-edfokú, és főegyütthatója 2^n. Páros n-re H_n(x) páros függvény, páratlan n-re páratlan. Vagyis

H_n(-x) = (-1)^n \cdot H_n(x)

Egy másik lehetőség a definícióra:

H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2} \frac{\mathrm d^n}{\mathrm{d}x^n} e^{-x^2/2}.

Az Hermite-polinomok kielégítik a következő differenciálegyenletet:

y'' + x\,y' + n\, y=0.

Rekurziós formula:

H_{n+1}(x) = x\,H_n(x) - n\,H_{n-1}(x)

Ortogonális rendszer[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Hermite-polinomok teljesítik ezt az ortogonalitási relációt:

\int\limits_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \cdot H_n(x)\cdot H_m(x) \, dx=  2^n \cdot n! \cdot \sqrt{\pi} \cdot \delta_{nm}.

Ez azt jelenti, hogy bizonyos valós függvények sorba fejthetők az Hermite-polinomok szerint.

Alkalmazás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Hermite-polinomok sokoldalú fizikai alkalmazásaik által válnak jelentőssé. Példa: a kvantummechanikai harmonikus oszcillátor ortonormált megoldásfüggvényeinek előállítása. Ezek az Hermite-függvények, amik a normális eloszlás eloszlásfüggvényével szorozva és megfelelően normálva kaphatók az Hermite-polinomokból.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • I.N. Bronstein u.A.: Taschenbuch der Mathematik 5. kiadás. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, Thun, 2001 ISBN 3-8171-2005-2
  • Milton Abramowitz és Irene Stegun: Pocketbook of Mathematical Functions
  • Murray R. Spiegel, Höhere Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler McGraw-Hill
  • Eric W. Weisstein. „Hermite Polynomial.“ From MathWorld -A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HermitePolynomial.html
  • A Bad Saulgau tanulói kutatóközpont jegyzete

[1]