Bázis (lineáris algebra)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
(Hamel-bázis szócikkből átirányítva)
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A lineáris algebrában egy vektortér bázisa egy olyan vektorhalmaz, melyben lévő elemek egymástól lineárisan függetlenek és lineáris kombinációik megadják a vektortér minden elemét (azaz generátorrendszert alkotnak). A bázis egy minimális számú generátorrendszere a térnek és egy maximális számosságú, egymástól lineárisan független elemekből álló részhalmaza is egyben.

Definíció[szerkesztés]

Vektorok egy BV halmaza (ami lehet véges vagy végtelen) sok definíció szerint akkor bázis (Hamel-bázis), ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. A „lényegében” szó itt arra utal, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól.

A definíció kibontása véges dimenzióban[szerkesztés]

Legyen egy feletti vektortér (jel.: ), a vektortér bázisa, ha

1.)   a generátorrendszere - nek:

Bármely vektora esetén egyértelműen léteznek - beli skalárok úgy, hogy
Ebben az esetben a skalárokat a vektor bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.

2.) egymástól lineárisan független vektorok:

Ha , akkor .

A vektortér dimenzióját a bázis számossága adja meg:

Ennek következménye, hogy ha dimenziós vektortérnek és vektorlisták egyaránt bázisai, akkor .[1]

Kicserélési tétel (Steinitz-tétel)[szerkesztés]

Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gn generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely fi-hez található olyan gj, hogy
is lineárisan független rendszer.
Bizonyítás
Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f1-re ez nem igaz, vagyis az f2,…,fn vektorokhoz akármelyik gj-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Tehát f2,…,fn független rendszerből előállítható g1,..., gn generátorrendszer bármely eleme. Ebből következik, hogy f2,…,fn bázis. Így V minden eleme, speciálisan f1 is előáll f2,…,fn lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f1,…,fn lineáris függetlenségének.

Kicserélési tételt felhasználva igazolható

Tétel
Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gk generátorrendszer egy V vektortérben.
Ekkor nk.
Bizonyítás
Első lépésben f1-et cseréljük ki valamelyik gj-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f2-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az fi-k el nem fogynak.
Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.
Következmény
Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.

Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Végtelen elemszám esetén ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy

Egy tetszőleges vektortér bármely két bázisa azonos számosságú.

Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Minden vektortérnek van bázisa.
    • Végtelen dimenzióban ez az állítás a Zorn-lemma következménye; valójában vele ekvivalens.
    • Az állítás következménye, hogy adott test felett adott dimenzióban izomorfizmus erejéig pontosan egy vektortér létezik.[2]
  • Egy vektortérnek több bázisa is lehet.
  • Legyen , résztere -nek. Legyen a nek bázisa, ekkor a bázist ki lehet egészíteni úgy - beli vektorokkal, hogy az bázisa legyen -nek.[1]

Koordináták[szerkesztés]

Egy V vektortérben, egy rögzített b1,…,bn bázis mellett tetszőleges vV vektor egyértelműen írható fel

alakban.
Ekkor az skalárok a v vektor koordinátái, a b1,…,bn bázisra vonatkozólag.

Báziscsere[szerkesztés]

Legyen vektortérben és bázis.

a.) Ha a egyik vektora, úgy, hogy , akkor a a vektor felírása a bázisban
b.) Legyen -beli elem minden -re és -re. Felírható a következő egyenletrendszer:
Ekkor a vektorokhoz tartozó együtthatókat rendre beírjuk egy mátrix oszlopaiba, a keletkezett mátrix a bázisból bázisba való áttérési mátrix lesz.
[1]

Példák[szerkesztés]

  • a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
  • hasonlóan -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas
  • -ben ortonormált bázist alkot az
vektorhalmaz, mely standard bázisa.
  • -ban bázis
ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.
  • az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az
vektorok.
  • a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa:

Általánosítás[szerkesztés]

A test feletti vektortér fogalmának általánosítása a gyűrű feletti modulus. Az állítás, miszerint minden vektortérnek van bázisa, nem általánosítható modulusokra. Ennek hátterében az áll, hogy a gyűrű nem minden eleme invertálható. Egy modulusnak akkor és csak akkor van bázisa, ha a modulus szabad.[3]

Források[szerkesztés]

  1. a b c Marcus, Andrei. Algebra [2005] 
  2. Csernák Tamás: Zorn-lemma és alkalmazásai. ELTE TTK. (Hozzáférés: 2021. március 9.)
  3. Weisstein, Eric W.: Free Module (angol nyelven). Wolfram MathWorld