Bázis (lineáris algebra)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/f4/3d_two_bases_same_vector.svg/130px-3d_two_bases_same_vector.svg.png)
A lineáris algebrában egy vektortér bázisa egy olyan vektorhalmaz, melyben lévő elemek egymástól lineárisan függetlenek és lineáris kombinációik megadják a vektortér minden elemét (azaz generátorrendszert alkotnak). A bázis egy minimális számú generátorrendszere a térnek és egy maximális számosságú, egymástól lineárisan független elemekből álló részhalmaza is egyben.
A bázis elemei a bázisvektorok. Ha egy vektort egy bázis vektorainak lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor az együtthatók rendre a vektor koordinátái az adott bázisban. Függvényterekben a bázis elemeit bázisfüggvényeknek nevezzük. Egy vektortérben általában több bázis is van; a bázisváltást koordinátatranszformációnak is nevezzük. Ha más bázisokról is szó van, akkor ezt a bázist Hamel-bázisként említik. Nem tévesztendő össze egy koordináta-rendszer bázisával, ami egy másik fogalom.
Definíció
[szerkesztés]Vektorok egy B ⊆ V halmaza (ami lehet véges vagy végtelen) sok definíció szerint akkor bázis (Hamel-bázis), ha a vektortér minden eleme, lényegében egyértelműen, állítható elő véges sok, B-beli elem lineáris kombinációjaként. A „lényegében” szó itt arra utal, hogy két előállítás csak nulla együtthatójú tagokban különbözhet egymástól.
Adva legyen a vektortér, és legyen egy részhalmaz -ben! A következő definíciók egyenértékűek:
- minden eleme előáll elemeinek lineáris kombinációjaként, és ez az előállítás egyértelmű
- minimális generátorrendszere -nek; azaz minden eleme előáll elemeinek lineáris kombinációjaként, de ez egy részhalmazára sem teljesül
- maximális lineárisan független halmaz -ben, azaz nincs -ben olyan vektor, melyet hozzávéve független maradna.
- lineárisan független generátorrendszer -ben.
Alkalmas indexhalmaz segítségével egy bázis írható úgy, mint ; egy véges bázis úgy, mint . Egy indexhalmaz bevezetésekor gyakran a család írásmódot használják; például ahelyett, hogy , azt írják, hogy . Ha az indexhalmaz rendezett, akkor az a bázist is sorba rendezi. Ekkor rendezett bázis. Például véges bázis, megszámlálhatóan végtelen bázis. Ez lehetővé teszi az irányok definiálását vektorterekben.
Habár a bázisokat többnyire halmazként írjuk fel, praktikusabb indexelést használni. Ekkor a koordinátavektorok alakja ; a koordinátatér . Rendezett indexhalmaz esetén a bázis is rendezett. Például ha , akkor (a koordináták számozása). A koordinátatér ; valós, illetve komplex esetben , illetve .
A definíció kibontása véges dimenzióban
[szerkesztés]Legyen egy feletti vektortér (jelben: ), a vektortér bázisa, ha
1.) a generátorrendszere - nek:
- Bármely vektora esetén egyértelműen léteznek - beli skalárok úgy, hogy
- Ebben az esetben a skalárokat a vektor bázis szerinti koordinátáinak nevezzük.
2.) egymástól lineárisan független vektorok:
- Ha , akkor .
A vektortér dimenzióját a bázis számossága adja meg:
- Ennek következménye, hogy ha dimenziós vektortérnek és vektorlisták egyaránt bázisai, akkor .[1]
Az ekvivalens definíciók egyenértékűségének bizonyítása
[szerkesztés]- Ha minden vektor egyértelműen kifejezhető elemeinek lineáris kombinációjaként, akkor generátorrendszer. Ha nem minimális generátorrendszer, akkor van egy valódi részhalmaza, ami szintén generátorrendszer. Legyen most ; ekkor kifejezhető elemeinek lineáris kombinációjaként, tehát kétféleképpen is felírható elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond az egyértelműségnek. Ennélfogva minimális.
- A minimális generátorrendszerek lineárisan függetlenek. Ha nem lineárisan független, akkor van egy , ami kifejezhető lineáris kombinációjaként. Ekkor vektorainak minden lineáris kombinációja behelyettesítéssel átírható lineáris kombinációjára, így nem minimális.
- Egy lineárisan független generátorrendszernek maximális független halmaznak kell lennie. Ha nem maximális, akkor van egy vektor, ami lineárisan független -től. De kifejezhető elemeinek lineáris kombinációjaként, ami ellentmond a lineáris függetlenségnek.
- Minden maximálisan független rendszer generátorrendszer is: Legyen tetszőleges vektor! Ha eleme -nek, akkor kifejezhető lineáris kombinációjaként. Ha nincs benne -ben, akkor valódi tartalmazó halmaza -nek, így lineárisan összefüggő. Ekkor vannak olyan együtthatók, hogy . Itt nem lehet az összes , mivel lineárisan független; így az egyik megegyezik -gal. Feltehetjük, hogy ez , és együtthatója a nullától különböző . Ekkor . Az ábrázolás egyértelműsége lineáris függetlenségéből következik.
A létezés bizonyítása
[szerkesztés]A Zorn-lemmával igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Legyen b vektortér! Bázis, azaz maximálisan lineárisan független részhalmazt keresünk benne. Vesszük az
halmazrendszert, ami részben rendezett a relációra. megmutatható, hogy:
- nem üres, hiszen benne van az üres halmaz. Ha nem üres, akkor az összes nullvektortól különböző vektora szerepel benne egyelemű halmazként.
- minden lánc is -ben.
A Zorn-lemmából következik, hogy -nek van maximális eleme. A maximális elemek azonban maximális lineárisan független részhalmazok -ben, vagyis bázisai. Tehát -nek van bázisa, és minden lineárisan független vektorból álló halmaz egy bázis része.
Egy elemű véges test fölötti dimenziós vektortérben
különböző bázis van.
Kiegészítési tétel
[szerkesztés]Adva legyen vektorok lineárisan független részhalmaza, és a létezés bizonyítása szakasz jelölésével legyen
és felhasználjuk azt az eredményt, hogy -t tartalmazza egy maximális eleme, ami bázis -ben. Így minden lineárisan független vektorhalmaz kiegészíthető bázissá.
Kicserélési tétel (Steinitz-tétel)
[szerkesztés]- Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gn generátorrendszer egy V vektortérben. Ekkor bármely fi-hez található olyan gj, hogy
- is lineárisan független rendszer.
- Bizonyítás
- Tegyük fel indirekt, az általánosság megszorítása nélkül, hogy például f1-re ez nem igaz, vagyis az f2,…,fn vektorokhoz akármelyik gj-t hozzávéve mindig összefüggő rendszert kapunk. Tehát f2,…,fn független rendszerből előállítható g1,..., gn generátorrendszer bármely eleme. Ebből következik, hogy f2,…,fn bázis. Így V minden eleme, speciálisan f1 is előáll f2,…,fn lineáris kombinációjaként. De ez ellentmond f1,…,fn lineáris függetlenségének.
Kicserélési tételt felhasználva igazolható
- Tétel
- Legyen f1,…,fn lineárisan független rendszer és g1,…,gk generátorrendszer egy V vektortérben.
- Ekkor n ≤ k.
- Bizonyítás
- Első lépésben f1-et cseréljük ki valamelyik gj-re, majd az így kapott új független rendszerből cseréljük ki f2-t alkalmas g-re, és így tovább, egészen addig, míg az fi-k el nem fogynak.
- Az így nyert független rendszerben már csak g-k szerepelnek, és a függetlenség miatt nem lehet közöttük két egyenlő. Tehát legalább annyi g-nek kellett lennie, mint f-nek.
- Következmény
- Egy véges V vektortérben bármely két bázis azonos elemszámú.
Transzfinit eszközökkel igazolható, hogy minden vektortérnek van bázisa.
Végtelen elemszám esetén ezt általában Hamel-bázisnak nevezik, és bizonyítható, hogy
- Egy tetszőleges vektortér bármely két bázisa azonos számosságú.
Ebből következik viszont, hogy a vektortér dimenziója jóldefiniált fogalom.
Tulajdonságok
[szerkesztés]- Minden vektortérnek van bázisa.
- Egy vektortérnek több bázisa is lehet.
- Egy vektortér minden bázisa ugyanannyi elemből áll. Ez a szám, ami lehet végtelen kardinális szám is, a vektortér dimenziója.
- Végtelen dimenzióban ez az állítás a Zorn-lemma következménye; valójában vele ekvivalens.
- Az állítás következménye, hogy adott test felett adott dimenzióban izomorfizmus erejéig pontosan egy vektortér létezik.[2]
- Legyen , résztere -nek. Legyen a nek bázisa, ekkor a bázist ki lehet egészíteni úgy - beli vektorokkal, hogy az bázisa legyen -nek.[1]
- Minden vektortér szabad objektum bázisa fölött. Ez a vektorterek univerzális tulajdonsága a kategóriaelmélet értelmében. Ez azt jelenti, hogy:
- Egy lineáris leképezést egyértelműen meghatározza egy bázis elemeinek képei. Legyen vektortér a test fölött! Ekkor a részhalmaz egyértelműen definiál egy lineáris leképezést, ahol az -edik standard bázisvektor. Ez a leképezés:
- pontosan akkor injektív, ha a vektorok lineárisan függetlenek
- szürjektív, ha -k generátorrendszert alkotnak
- bijektív, ha a vektorok bázist alkotnak
- Egy bázis tetszőleges leképezése a képtérben lineáris leképezést definiál.
- Mindez a jellemzés átvihető modulusokra is.
Koordináták
[szerkesztés]Egy V vektortérben, egy rögzített b1,…,bn bázis mellett tetszőleges v ∈ V vektor egyértelműen írható fel
alakban.
Ekkor az skalárok a v vektor koordinátái, a b1,…,bn bázisra vonatkozólag. Egy vektortérben a vektorok koordinátái a vektortér alaptestének elemei. Ezek együtt alkotják a koordinátavektort, ami egy másik vektortér, a koordinátatér eleme. Lényeges, hogy melyik koordináta melyik vektorhoz tartozik. Ha a bázis nincs indexelve, akkor az egyes vektorokat indexben jelölni kell.
Báziscsere
[szerkesztés]Legyen vektortérben és bázis.
- a.) Ha a egyik vektora, úgy, hogy , akkor a a vektor felírása a bázisban
- b.) Legyen -beli elem minden -re és -re. Felírható a következő egyenletrendszer:
Példák
[szerkesztés]- a síkbeli, közönséges vektorok vektorterében bázist alkot a szokásos i, j ortonormált vektorpár.
- a standard bázis az euklidészi síkban, vagyis az vektorpár
- két, nem egyazon, vagy ellentétes irányba mutató vektor az euklidészi síkban
- hasonlóan -ben a szokásos, jobbsodrású vektorhármas
- -ben ortonormált bázist alkot az
- vektorhalmaz, mely standard bázisa.
- -ban bázis
- ahol 0, 1 az F test null- illetve egységeleme.
- az F feletti polinomok vektorterében bázist alkotnak az
- vektorok.
- a polinomok vektorterében vannak más bázisok, amelyek konkrét alkalmazásokban hasznosabbak, mint a monomok, például a Legendre-polinomok
- a legfeljebb k-adfokú polinomok egy bázisa:
- a nullvektortérben az üres halmaz
- a , mint fölötti vektortérben az halmaz
- a , mint fölötti vektortérben egy olyan számpár, melyek hányadosa nem valós
- a valós számsorozatok körében az vektorok lineárisan függetlenek, de nem alkotnak bázist, mivel például nem fejezhető ki véges sok elem lineáris kombinációjaként
- , mint fölötti vektortér esetén van bázis, amit nem lehet explicit megadn
Speciális vektorterekben
[szerkesztés]Valós és komplex vektorterek további topológiai struktúrával bírnak. A fent bevezetett bázisfogalomtól eltérő bázisok is definiálhatók bennük.
Bázis és duális bázis a háromdimenziós valós vektortérben
[szerkesztés]A klasszikus mechanikában a megfigyelési teret skalárszorzatos háromdimenziós valós vektortérrel, azaz a (V³, ·) vektortérrel modellezik. A skalárszorzat megléte a vektorteret további tulajdonságokkal ruházza fel.
Háromdimenziós valós vektortérben minde bázishoz tartozik pontosan egy duális bázis úgy, hogy ahol δ a Kronecker-delta. A skalárszorzattal definiálható a vektorok normája és szöge, így előállíthatók ortonormált bázisok, melyek elemei páronként ortogonálisak, és normájuk egységnyi. Ortonormált bázisok esetén a duális bázis megegyezik a bázissal.
Minden vektor kifejezhető bázisvektorok lineáris kombinációjaként:
A skalárszorzattal ellátott háromdimenziós valós vektortér teljes is, azaz Hilbert-tér.
Hamel- és Schauder-bázisok skalárszorzatos terekben
[szerkesztés]Valós és komplex skalárszorzatos vektorterekben, különösen a Hilbert-terekben az elemek előállíthatók más, bizonyos céloknak megfelelőbb módon. Ebben az előállításban ortonormált bázist használunk, de megengedünk végtelen összegeket is. A végtelen összeg megengedése miatt ez nem bázis a fenti értelemben, így egy másik nevet kap: ez a Schauder-bázis. A fent leírt bázist ekkor Hamel-bázisnak hívják.
Auerbach-bázis
[szerkesztés]Egy Auerbach-bázis egy normált vektortér sűrű alterének Hamel-bázisa; úgyhogy minden bázisvektor távolsága a többi vektor által generált altértől megegyezik a bázisvektor normájával.
A különböző bázisfogalmak elhatárolása
[szerkesztés]- A Hamel- és a Schauder-bázis is lineárisan független vektorokból áll.
- Egy Hamel-bázis, röviden bázis vektorok véges lineáris kombinációjával fejezi ki a tér vektorait.
- Véges dimenziós valós, illetve komplex skalárszorzatos vektorterekben egy ortonormált bázis egyszerre Hamel- és Schauder-bázis.
- Végtelen dimenziós, teljes valós vagy komplex skalárszorzatos vektortérben, speciálisan végtelen dimenziós Hilbert-térben a Hamel- és a Schauder-bázisok sosem esnek egybe. Végtelen dimenziós esetben egy Hamel-bázis nem mindig ortonormálható.
- Végtelen dimenziós, szeparábilis Hilbert-tér Hamel-bázisa nem megszámlálható; ezzel szemben egy Schauder-bázis megszámlálható. Nem létezik Hamel-dimenziós Hilbert-tér.
- Hilbert-terekben bázison többnyire Schauder-bázist értenek; skalárszorzat nélküli vektorterekben mindig Hamel-bázist.
Általánosítás
[szerkesztés]A test feletti vektortér fogalmának általánosítása a gyűrű feletti modulus. Az állítás, miszerint minden vektortérnek van bázisa, nem általánosítható modulusokra. Ennek hátterében az áll, hogy a gyűrű nem minden eleme invertálható. Egy modulusnak akkor és csak akkor van bázisa, ha a modulus szabad.[3]
Források
[szerkesztés]- ↑ a b c Marcus, Andrei. Algebra [2005]
- ↑ Csernák Tamás: Zorn-lemma és alkalmazásai. ELTE TTK. (Hozzáférés: 2021. március 9.)
- ↑ Weisstein, Eric W.: Free Module (angol nyelven). Wolfram MathWorld
- Peter Knabner, Wolf Barth: Lineare Algebra. Grundlagen und Anwendungen. Springer Spektrum, Berlin/Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-32185-6.
- Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik. Band II: Lineare Algebra. BI-Wissenschaft, Mannheim u. a. 1990, ISBN 978-3-411-14101-2.
Fordítás
[szerkesztés]Ez a szócikk részben vagy egészben a Basis (Vektorraum) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.