Generátorrendszer (lineáris algebra)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris algebrában egy vektortér generátorrendszere egy olyan részhalmaz, aminek elemeinek lineáris kombinációjaként bármely vektor kifejezhető. Duális fogalma a lineárisan független rendszer. A vektortér bázisa egy minimális generátorrendszer (és egyben maximális lineárisan független rendszer).

Definíció[szerkesztés]

Az a1,…,anV vektorokat a V vektortér generátorrendszerének nevezzük, ha V minden eleme előáll az ai vektorok lineáris kombinációjaként.

Példák[szerkesztés]

  • minden bázis egyben egy generátorrendszer is,
  • maga a V vektortér is generátorrendszer,

Tulajdonságok[szerkesztés]

Ha a generátorrendszert további V-beli vektorokkal bővítjük, akkor ismét generátorrendszert kapunk (azaz egy vektortér generátorrendszerei felszálló halmazrendszert alkotnak).

  • Minden véges generátorrendszer tartalmaz bázist.

Ez úgy igazolható, hogy addig hagyunk el elemeket, ameddig lehet.
Az állítás igaz végtelen generátorrendszerekre is, de ekkor a bizonyításhoz a Zorn-lemmát vagy a kiválasztási axióma valamelyik más ekvivalensét kell felhasználni.

Források[szerkesztés]

  • Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). Összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK, 2. fejezet (Vektorterek, lineáris leképezések és mátrixaik)

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]