Hasonlóság (mátrixok)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

Két mátrix és akkor hasonló, ha létezik egy invertálható mátrix , ami teljesíti a következő egyenletet:

.

A mátrixot bázistranszformáció mátrixnak szokták nevezni, mivel hasonló mátrixok ugyanazt a lineáris leképzést reprezentálják, csak különböző bázishoz viszonyítva.

A hasonlóságot helyenként vagy módon jelölik.

Tulajdonságok[szerkesztés]

A hasonlóság egy ekvivalenciareláció:

  • Reflexív: minden mátrix saját magához hasonló .
    Bizonyítás: , ahol az egységmátrixot jelöli.
  • Szimmetrikus: ha , akkor .
    Bizonyítás:
  • Tranzitív: ha és akkor .
    Bizonyítás: kifejezhető mint és mit . újraírható mint . Bázistranszformáció mátrix ebben az esetben .

Ha két mátrix , hasonló , akkor

  • A rangok azonosak: .
    Bizonyítás: a kifejezés átírható mint . Mivel invertálható, ezért a rangja .
  • A determinánsok azonosak: .
    Bizonyítás:
  • A nyomok azonosak: .
    Bizonyítás:
  • Sajátértékek és a hozzátartozó algebrai multiplicitások azonosak. Bizonyítás: mivel karakterisztikus polinomok azonosak, ezért a karakterisztikus egyenleteknek is azonosnak kell lenniük. Ebből következtethető, hogy a sajátértékek is azonosak.
  • Jordan-féle normálformák azonosak.

Példa[szerkesztés]

A két mátrix és hasonlóak. A bázistranszformáció mátrix ebben az esetben .

  • Rang
  • Determináns
  • Nyom
  • Karakterisztikus polinom

Források[szerkesztés]