Jordan-féle normálforma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A lineáris algebrában minden algebrailag zárt test feletti négyzetes mátrix (ahol a mátrix sajátértékei test elemei) egy adott normálalakra hozható a bázis megváltoztatásával. Ebben a normálformában a főátlóban és a főátlő felett levő elemek kivételével minden elem 0, tehát a mátrix majdnem diagonális. A mátrixoknak ezt az alakját Camille Jordanról nevezték el.

Jordan-mátrix[szerkesztés]

Egy test feletti Jordan-blokk olyan n×n-es mátrix, ahol a főátlóban minden elem , a főátló felett 1-esek állnak, a többi elem pedig 0. a Jordan-blokk sajátértéke.

A Jordan-mátrix olyan négyzetes mátrix, amely főátlójában Jordan-blokkok állnak, a többi elem pedig 0.

A mátrix Jordan blokkok direkt szorzata.

Jelölése: vagy egy olyan ×-s Jordan-mátrix, amelynek első tömbje , második tömbje , ... , i-edik tömbje .

Például a következő 9×9-es Jordan-mátrixnak van egy 3×3-as 0 sajátértékű blokkja, két 2×2-es 3 sajátértékű blokkja és egy 2×2-es 5 sajátértékű blokkja:

Jelölése: vagy .

Két Jordan-mátrix hasonló, ha ugyanazokból a Jordan-blokkokból állnak (a blokkok elhelyezkedésétől függetlenül).

A Jordan-normálforma tulajdonságai[szerkesztés]

Bármely test elemeiből képzett n×n-es mátrix hasonló egy test feletti n×n-es Jordan-mátrixhoz. Tehát létezik invertálható mátrix, melyre . -t az mátrix Jordan-normálformájának nevezzük.

A következő tulajdonságokat állapíthatjuk meg:

  • sajátértékei a mátrix főátlójában álló elemek.
  • Egy adott sajátérték geometriai multiplicitása Ker() dimenziója (ahol egységmátrix), és ennyi a -hez tartozó Jordan-blokkok száma.
  • Egy adott sajátértékhez tartozó összes Jordan-blokk méretének összege algebrai multiplicitása.
  • akkor és csak akkor diagonizálható, ha bármely sajátértékének algebrai és geometriai multiplicitása megegyezik.

Egy mátrix Jordan-normálformájának meghatározásához nem elegndő ismerni a sajátértékeinek algebrai és geometriai multiplicitását. Feltéve, hogy egy sajátértékhez tartozó algebrai multiplicitás ismert, a Jordan-normálforma felépítését hatványok rangjának vizsgálatával határozhatjuk meg: Tegyük fel, hogy egy n×n-es mátrixnak egyetlen sajátértéke . Tehát . A legkisebb egész, melyre

a legnagyobb Jordan-blokk mérete Jordan-normálformájában.

rangja a méretű Jordan-blokkok száma. Hasonlóan

rangja a méretű Jordan-blokkok számának kétszeresének és a méretű Jordan-blokkok számának összege. Ezt a módszert ismételve megkapjuk Jordan-normálformájának felépítését. Több sajátérték esetén hasonlóan járhatunk el.

Ezt felhasználva belátható, hogy ha és mátrix Jordan-normálformái, akkor és hasonló.

Hatványozás[szerkesztés]

Ha egy természetes szám akkor egy mátrix Jordan-normálformájának -adik hatványa a következő:

Tehát hatványozás után minden egyes Jordan-blokkból egy felső háromszögmátrix lesz. A felső háromszögmátrixok főátlójában , a főátló felett , ... , végül szerepel, ha a sajátértékhez tartozó (l+1)×(l+1)-es Jordan-tömb.

(Megjegyzés: , ha .)

Például:

Példa a Jordan-normálforma és az áttérési mátrix kiszámítására[szerkesztés]

Legyen

mátrix karakterisztikus polinomja:

Tehát az algebrai multiplicitás szerint a sajátértékei 1, 2, 4 és 4. A hozzájuk tartozó sajátvektorok az egyenlet megoldásával kiszámíthatóak:

Tehát a mátrix Jordan-normálformája:

A áttérési mátrix (melyre ) oszlopvektorai a sajátvektorok (p=1, q=1, illetve -nál s=1, t=0, -nél s=0, t=1 választással):

Ellenőrizhető az eredmény helyessége:

Ha megváltoztatjuk a sajátvektorok sorrendjét, azaz a , , sorrendet ( és egymás mellett marad), akkor megváltozik a Jordan-tömbök sorrendje a Jordan-normálformában.

Források[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

További információk[szerkesztés]