Vektoriális szorzat

A vektoriális szorzat (más néven külső szorzat vagy keresztszorzat) háromdimenziós vektorokkal végzett olyan művelet, amelynek eredménye egy vektor. Míg a vektorok (és a rajtuk végzett műveletek közül például a skaláris szorzat) általánosíthatók több dimenzióra, a vektoriális szorzatot csak 3 dimenziós térben értelmezzük (7 dimenziós esetben is létezik vektoriális szorzat, ami azonban kevésbé használatos).

Jelölése: a×b vagy [ab] (szóban: a kereszt b)

Értelmezése:

$|\mathbf {c} |=|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin(\theta )$

1. Az eredményvektor nagysága (abszolútértéke, hossza) a két vektor hosszának és a közbezárt szögük szinuszának szorzata (0° ≤ θ ≤ 180°).
2. Az eredményvektor állása merőleges mind a-ra, mind b-re (az a és b vektorok síkjára).
3. Az eredményvektor iránya olyan, hogy az a, b és c jobbsodrású vektorrendszert alkot.

(Egy a, b, c vektorrendszert akkor hívunk jobbsodrásúnak, ha a jobb kezünk beállítható úgy, hogy hüvelykujjunk a-val, mutatóujjunk b-vel, középső ujjunk pedig (az előbbi két ujjunkra merőlegesen) c-vel azonos irányba mutat.)

Derékszögű koordináta-rendszerben a c eredményvektor koordinátáit a következőképp kapjuk a és b koordinátáiból:

$c_{1}=a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}$

$c_{2}=a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}$

$c_{3}=a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}$

Vagy rövidebben: $c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}$, ahol $\varepsilon _{ijk}$ a Levi-Civita-szimbólumot jelenti.
Ha elképzelünk egy paralelogrammát, aminek szomszédos oldalait az a és b vektorok alkotják, akkor a×b nagysága (tehát az eredményvektor hossza) éppen megegyezik a két vektor által kifeszített paralelogramma területével.

Két vektor vektoriális szorzata akkor és csak akkor nullvektor, ha párhuzamos állásúak, hiszen ekkor a bezárt 0° vagy 180°, amiknek szinusza 0. Akkor lesz leghosszabb az eredményvektor, ha derékszögben állnak egymáshoz képest az összeszorzandó vektorok (mert 90° szinusza 1).

Tulajdonságok

• $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}$, tehát antikommutatív
• $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \times \mathbf {b} +\mathbf {a} \times \mathbf {c}$, tehát az összeadásra disztributív
• $(\lambda \mathbf {a} )\times \mathbf {b} =\mathbf {a} \times (\lambda \mathbf {b} )=\lambda (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )$
• $(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} \neq \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$, tehát a hármas vektorszorzat nem asszociatív. De teljesíti a Jacobi-azonosságot: $\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )+\mathbf {b} \times (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )+\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0$. Ez, az előbbi két tulajdonsággal együtt (linearitás és disztributivitás) azt eredményezi, hogy R³ a vektorok közti összeadással és vektoriális szorzással Lie-algebrát képez.

Kifejtési tétel

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )$

Négyesszorzat:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=-\mathbf {d} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )+\mathbf {c} (\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {d} )$, ahol $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ módon a vegyes szorzat van jelölve.

Lagrange-azonosság:

$(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {d} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {d} )-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )(\mathbf {a} \cdot \mathbf {d} )$

$\mathbf {a} ^{(i)}$ (i=1,2,3) vektorok $\mathbf {A} ^{(i)}$ (i=1,2,3) reciprok rendszerét is a vektoriális szorzat segítségével számítjuk ki:

$\mathbf {A} ^{(1)}={\frac {1}{v}}(\mathbf {a} ^{(2)}\times \mathbf {a} ^{(3)})$

$\mathbf {A} ^{(2)}={\frac {1}{v}}(\mathbf {a} ^{(3)}\times \mathbf {a} ^{(1)})$

$\mathbf {A} ^{(3)}={\frac {1}{v}}(\mathbf {a} ^{(1)}\times \mathbf {a} ^{(2)})$, ahol $v=(\mathbf {a} ^{(1)},\mathbf {a} ^{(2)},\mathbf {a} ^{(3)})$

Kiszámítása a derékszögű koordináta-rendszerben

Előállítása mátrixszorzásként

Három dimenzióban két vektor közötti vektoriális szorzást átírhatunk egy 3×3-as antiszimmetrikus mátrix és egy vektor szorzatára a következőképpen:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {A} \times \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}0&-a_{3}&a_{2}\\a_{3}&0&-a_{1}\\-a_{2}&a_{1}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{bmatrix}}$

Determinánsalak

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}$, ahol i, j és k az egységvektorok.

A gyakorlatban ezek a módszerek könnyebben megjegyezhetőek és a számolást is egyszerűsítik.

Fizikai alkalmazások

A fizika számos területén alkalmazzák, pl.:

B indukciójú mágneses térben v sebességgel mozgó töltésre ható erő: $\mathbf {F} =q(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$

r erőkarral rendelkező F erő forgatónyomatéka: $\mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F}$

Külső hivatkozások

• Interaktív Java szimuláció két vektor vektoriális szorzatáról gömbi koordináták megadásával. Szerző: Wolfgang Bauer
• Magyarított Flash animáció két vektor vektoriális szorzatának irányáról, ill. ennek kapcsolatáról a jobbkézszabállyal. Szerző: David M. Harrison

Lásd még

• Skaláris szorzat