Távolság

A távolság két pont közé eső szakasz hossza. Pont és egyenes távolsága a ponttól az egyenesre bocsátott merőleges hossza. Pont és sík távolsága a ponttól a síkra bocsátott merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos egyenes távolsága az egyik egyenes egy pontjának távolsága a másik egyenestől. Két párhuzamos sík távolsága az egyik sík egy pontjának távolsága a másik síktól.

A fizikában, vagy a mindennapi életben a távolságot többnyire különböző hosszúságegységekben adják meg. SI-egysége a méter. A matematika ezt a fogalmat általánosítja, különböző mértékeket, metrikákat vezetve be.

A távolság egy nem negatív skalármennyiség, aminek nincs iránya, míg az elmozdulásra, mint vektormennyiségre jellemző annak iránya. Egy görbe úton megtett út hossza lényegesen nagyobb lehet a légvonalbeli távolságnál. Egy körút például hosszú lehet, de ilyenkor a kezdő-és végpont légvonalbeli távolsága nulla, mert e két pont egybeesik.

Geometria

Az abszolút geometriában két pont, x₁ és x₂ távolsága:

$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}.\,$

A koordinátageometriában az xy sík két pontja, (x₁, y₁) és (x₂, y₂) közötti távolság:

$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.\,$

Hasonlóan, a háromdimenziós térben a pontok távolsága:

$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.$

Ahol a két pont koordinátái (x₁, y₁, z₁) és (x₂, y₂, z₂).

A síkbeli képlet megkapható úgy, hogy tekintjük az egyik olyan derékszögű háromszöget, aminek átfogója az (x₁, y₁) és (x₂, y₂) közötti szakasz. Erre a háromszögre alkalmazva a Pitagorasz-tételt megkapjuk a képletet. A Pitagorasz-tétel többszöri alkalmazásával a magasabb dimenziós képletek is megkaphatók. Meg kell jegyeznünk, hogy ezek a képletek csak az euklideszi geometriában érvényesek, mert a nem euklideszi geometriákban nem teljesül a Pitagorasz-tétel.

A távolságképletek általánosítása az ívhossz kiszámítására szolgáló képlet.

Az euklideszi térben

A matematikában (elsősorban a numerikus analízisben és a diszkrét matematikában, de az euklideszi geometriában csak nagyon ritkán) néha más távolságokat is használnak (Hölder-metrikák), amik az euklideszi normától eltérő normán alapulnak.

Az (x₁, x₂, ...,x_n) és az (y₁, y₂, ...,y_n) pontok p paraméterű Hölder-távolsága:

1-normán alapuló távolság (Manhattan-metrika, Minkowski-metrika)	$=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|$
2-normán alapuló távolság (euklideszi metrika)	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right)^{1/2}$
p-norma távolság	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}$
végtelen normán alapuló távolság (Csebisev-metrika)	$=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}$
	$=\max \left(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|\right)$

ahol p egy egynél nem kisebb valós szám. Ugyanis, ha p kisebb lenne, mint egy, akkor nem teljesülhetne a háromszög-egyenlőtlenség.

Speciálisan, a 2-norma megegyezik a szokott értelemben vett, vonalzóval vagy fénysugárral mérhető távolsággal. Az 1-norma egy olyan út hosszát méri, ami egymásra merőleges szakaszokból összerakva vezet az egyik pontból a másikba, mintha csak egy úthálózaton haladhatnánk. Manhattan-távolságnak is nevezik. A végtelen normából kapott távolságot Csebisev-távolságnak is nevezik. A sakktáblán minimum ennyi lépéssel lehet átvinni a királyt az egyik mezőről a másikra. Ezekkel a távolságokkal leginkább különböző függvényterekben mérnek; leggyakrabban az euklideszi, a Manhattan- és a Csebisev-távolságok kerülnek szóba, a többi csak nagyon speciális esetben fordul elő.

Euklideszi norma

Az euklideszi norma az adott p pont origótól mért távolsága:

$\|\mathbf {p} \|={\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+\cdots +p_{n}^{2}}}={\sqrt {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }}$

ahol az utolsó szorzás skalárszorzás. Ez egyben az origóból a p-be mutató vektor hossza.

Variációszámítás

A tér két pontja ($A={\vec {r}}(0)$ és $B={\vec {r}}(T)$) közötti távolság variációs formulája:

$D=\int _{0}^{T}dt{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(t) \over \partial t}\right)^{2}}}$

ahol a távolság a formula minimumával egyenlő. A képletben ${\vec {r}}(t)$ jelöli a két pont közötti utat. A D integrál ennek a hossza. A képlet akkor veszi fel minimumát, ha $r=r^{*}$, ahol $r^{*}$ az optimális trajektória, az euklideszi geometriában egy egyenes szakasz. Görbült terekben, ahol a tér természetét $g_{ab}$ jelöli, az integrandus ${\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}$ lesz.

Algebrai távolság

A számítógépi geometriában gyakran egy másik távolságfogalmat használnak: az algebrai távolságot, amit a legkisebb négyzetek módszerével minimalizálnak. Az $x^{T}Cx=0$ alakú egyenlettel adott görbék és felületek, például a kúpszeletek esetén az algebrai távolság egyszerűen $x'^{T}Cx'$.

Kiindulási alapként szolgál az euklideszi távolság számára a görbékre vonatkozó becslések finomításához. Ez megtehető például a nemlineáris legkisebb négyzetek módszerével.

Absztrakt távolság

A matematikában, különösen a geometriában egy d: H×H → R függvény a H halmazon értelmezett távolságfüggvény, ha:

• d(x,y) ≥ 0, és d(x,y) = 0 akkor és csak akkor, ha x = y. Két pont távolsága nem negatív, és nulla akkor és csak akkor, ha a két pont egybeesik.
• Szimmetrikus: d(x,y) = d(y,x). Az x és az y pont távolsága mindkét irányban ugyanaz.
• Teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z). Két pont között az egyenes szakasz a legrövidebb út.

Az ilyen d függvényeket metrikának nevezik. A metrikák topológiát határoznak meg. Például a számok közötti szokásos d(x,y) = |x − y| metrika a számegyenes szokásos topológiáját adja, amiben a nyílt halmazok a szokásos nyíltak. Az absztrakt távolságra tett kikötések szerint ez is metrika: d(x,y) = 0 ha x = y, és 1 egyébként. Ez a szokásos topológiától különböző topológiát ad, amiben pontosan a véges halmazok nyíltak.

Egy alaphalmaz metrikus tér a rajta értelmezett metrikával.

Gráfelmélet

A gráfelméletben két csúcs távolsága az őket összekötő legrövidebb út hossza.

Halmazok közötti távolság

Nem teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: d(A,B)>d(A,C)+d(C,B)

Többféleképpen is lehet kiterjedt halmaz között távolságot definiálni. A legtöbbször a következő definíciók valamelyikét használják:

• Két nem üres halmaz távolsága a pontjaik közötti távolságok infimuma, vagyis legnagyobb alsó korlátja. Megfelel a távolság szokásos értelmezésének. Szimmetrikus premetrika, de többnyire nem teljesíti a háromszög-egyenlőtlenséget, ezért nem pszeudometrika, így csak néhány speciális halmazrendszeren lehet metrika.
• Két halmaz, X és Y d_H Hausdorff-távolsága:

$d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\max\{\,\sup _{x\in X}\inf _{y\in Y}d(x,y),\,\sup _{y\in Y}\inf _{x\in X}d(x,y)\,\}{\mbox{,}}\!$

ahol sup jelöli a szuprémumot (a legkisebb felső korlátot), és inf az infimumot.

Egy ekvivalens definíció:

$d_{H}(X,Y)\leq \varepsilon \ \Longleftrightarrow \ X\subset Y_{\varepsilon }\ {\mbox{and}}\ Y\subset X_{\varepsilon },$

ahol X_ε azoknak a pontoknak a halmaza, amelyek ε-nál közelebb esnek az X halmazhoz a szokott értelemben.

A két halmaz közötti távolsághoz hasonlóan definiálható egy pont és egy halmaz távolsága.

Egyéb távolságok

A matematika egyes ágai más távolságokat definiálnak és használnak:

• Mahalanobis-távolság a statisztikában
• Hamming-távolság és Lee-távolság a kódelméletben
• Levenshtein-távolság avagy szerkesztési távolság az információelméletben és a számítástudományban
• Csebisev-távolság
• Ciklikus távolság: egy kör kerületén mért távolság. Ha a kör r sugara 1, akkor kerülete 2*π*r. A mérnöki tudományokban gyakran használják az ω=2*π*f összefüggést, ahol f a frekvencia jele.

Források

• Deza, E. & Deza, M. (2006), Dictionary of Distances, Elsevier, ISBN 0444520872.
• Stoyan Gisbert–Takó Galina: Numerikus módszerek
• Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.

Külső hivatkozások

• http://planetmath.org/encyclopedia/HausdorffMetric.html
• A Hausdorff-metrika teljes volta és teljes korlátossága (pdf)
• http://cgm.cs.mcgill.ca/~godfried/teaching/cg-projects/98/normand/main.html