Szabadelektron-modell

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A szilárdtestfizikában a szabadelektron-modell egy egyszerű modell a fémes szilárdtestek kristályos szerkezetében a vezetési sáv működésének leírására. Eredetileg Arnold Sommerfeld fejlesztette ki ezt az elméletet, kombinálva a klasszikus Drude-modellt a kvantummechanika Fermi–Dirac-statisztikájával, ezért Drude–Sommerfeld-modellnek is hívják.

Alkalmazásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szabadelektron üreskristályrács-közelítés közelítéselmélete alapozza meg az energiasávszerkezet-modellt, amely közel-szabadelektron modellként is ismert. Egyszerűségéből adódóan meglepően sikeresen magyaráz meg különféle kísérleti jelenségeket, mint például:

Elképzelések és feltételezések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahogy a Drude-modellnél feltételezik, a vezetési elektronok teljesen le vannak csatolva az ionoktól (elektrongázt formálva). Mint egy ideális gázban, az elektron-elektron kölcsönhatást teljesen elhanyagolják. A fémeknél az elektrosztatikus mezők gyengék az árnyékoló hatás miatt. A kristályrácsot nem veszik explicit módon számításba. A kvantummechanikai igazolást a Bloch-tétel adja: egy nem kötött elektron periodikus potenciálban mozog, mint egy szabad elektron vákuumban, azzal a különbséggel, hogy m tömegét egy m* effektív tömeggel kell helyettesíteni, amely jelentősen eltérhet m-től. Még negatív effektív tömeg is alkalmazható az elektronlyukak általi vezetés leírására.

Az effektív tömeg a sávszerkezet számításaiból vezethető le.

Míg a statikus rács nem akadályozza az elektron mozgását, az elektronok szóródni képesek a szennyezések és a fononok miatt; e két kölcsönhatás határozza meg az elektromos és termikus vezetőképességet (a szupravezetés egy még jobban kidolgozott elméletet igényel, mint a szabadelektron-modell).

A Pauli-elv szerint minden egyes fázistérelem, (Δk)³(Δx)³ csak két elektront tartalmazhat (spinkvantumszámonként egyet). A rendelkezésre álló elektronállapotoknak ezt a megkötését a Fermi–Dirac-statisztika veszi figyelembe (lásd még Fermi-gáz). A szabadelektron-modell legfőbb jóslatai a Fermi–Dirac-elmélet Sommerfeld-kiterjesztéséből származtathatók, a Fermi-szintnek megfelelő energiáknál.

A szabad elektron energiája és hullámfüggvénye[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Haladó síkhullám

Egy szabad részecske potenciálja V(\bold{r}) = 0. A Schrödinger-egyenlet az ilyen részecskére, mint a szabad elektronra: [1] [2][3]

-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\bold{r},t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\bold{r},t)

A hullámfüggvény \Psi(\bold{r},t) szeparálható egy időfüggő és egy időfüggetlen egyenlet megoldásainak szorzatára. Az időfüggő egyenlet:

\Psi(\bold{r},t) = \psi(\bold{r}) e^{-i \omega t}
E = \hbar \omega

energiával Az időfüggetlen egyenlet:

\psi_{\bold{k}}(\bold{r}) = \frac{1}{\sqrt{\Omega_r}} e^{i\bold{k}\cdot\bold{r}}

\bold{k} hullámszámvektorral. \Omega_r annak a térnek a térfogata, ahol az elektron található. Az elektron kinetikus energiája:

E = -\frac{\hbar^2 k^2}{2m}

A Schrödinger-egyenlet síkhullámmegoldása:

\Psi(\bold{r},t) = \frac{1}{\sqrt{\Omega_r}} e^{i\bold{k}\cdot\bold{r} - i \omega t}

A sziládtestfizikában és a kondenzált anyagok fizikájában a legfontosabb a \psi_{\bold{k}}(\bold{r}) időfüggetlen megoldás. Ez az elektronikus sávszerkezet-modellek kiindulópontja, amelyet széles körben alkalmaznak a szilárdtestfizikában a modellek Hamilton-függvényének felépítésekor, mint például a közelszabad-elektron modellnél és a szoroskötés-modellnél, valamint más modelleknél, amelyek muffin-tin közelítést használnak. Ezen Hamilton-függvények sajátfüggvényei Bloch-állapotok, modulált síkhullámok.

Haladó síkhullámú megoldás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az időfüggetlen stacionárius hullám és az időfüggő oszcillátor szorzata:

\Psi(\bold{r},t) = \psi(\bold{r}) e^{-i \omega t} megadja a haladóhullám-megoldást

\Psi(\bold{r},t) = \frac{1}{\sqrt{\Omega_r}} e^{i\bold{k}\cdot\bold{r} - i \omega t} mely a végleges megoldás a szabadelektron-hullámfunkcióra.

Síkhullámok


Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Albert Messiah. Quantum Mechanics. Dover Publications (1999). ISBN 0-486-40924-4 
  2. Stephen Gasiorowicz. Quantum Physics. Wiley & Sons (1974). ISBN 0-471-29281-8 
  3. Eugen Merzbacher. Quantum Mechanics. Wiley & Sons (1961) 

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Albert Messiah: Quantum Mechanics. (hely nélkül): Dover Publications. 1999. ISBN 0486409244  
  • Stephen Gasiorowicz: Quantum Physics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1974. ISBN 0471292818  
  • Eugen Merzbacher: Quantum Mechanics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1999.  
  • C. Kittel: Introduction to Solid State Physics. (hely nélkül): Wiley & Sons. 1999. ISBN 0486409244  

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]