Drude-modell

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Drude-modell az elektronok transzport tulajdonságaival magyarázza az anyagok (főleg a fémek) elektromos vezetőképességét. Paul Drude 1900-ban dolgozta ki a róla elnevezett Drude-modellt. [1][2]

A modell, mely a kinetikus elmélet egy alkalmazása, feltételezi, hogy az elektronok mikroszkopikus viselkedése klasszikus módon történik a szilárd testekben, és úgy néz ki, mint egy flipper gépben a golyók viselkedése, ahol az elektronok állandóan ide-oda pattognak a nehezebb és relatíve kevésbé mozgékony pozitív ionok társaságában.(lásd mellékelt ábra).

Drude-modell

Az ábrán a kék színnel jelzett elektronok ugrálnak a piros színű ionok között.

A Drude-modell két jelentős eredménye az elektronok mozgási egyenletei

\frac{d}{dt}\mathbf{p}(t) = q\mathbf{E} - \frac{\mathbf{p}(t)}{\tau},

valamint az áramsűrűség J és az elektromos tér E közötti lineáris összefüggés

\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.


Itt a t az időt jelőli, a p, q, n , m, és \tau az elektron impulzusát, töltését, számbeli sűrűségét, tömegét, valamint azt az átlagos időt, mely az ionokkal történő ütközések között eltelik. Az utóbbi egyenlet különösen jelentős, mert megmutatja, hogy az Ohm törvénye, mely széles körben használatos összefüggés az elektromágneses jelenségeknél, igaznak kell lennie. [3][4][5]

1905-ben Hendrik Antoon Lorentz a Drude-modellt kiterjesztette (és ezért gyakran Drude–Lorentz modellnek is ismerik). 1933-ban Arnold Sommerfeld és Hans Bethe kiegészítette a modellt a kvantum elmélet eredményeivel.

Feltételezések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Drude-modell úgy tekinti a fémeket, hogy azok pozitív töltésű ionok tömegéből állnak, melyektől elkülönülnek a “szabad elektronok”. Amikor a vezetési sáv kapcsolatba kerül más atomok potenciájával, ezek az elektronok leválnak. [6]

Mindamellett az ilyen szabad elektronok eredeténél a Drude-modell nem veszi figyelembe az elektronok és az ionok hosszútávú kölcsönhatását és azt feltételezi, hogy az elektronok nem hatnak egymásra. Az egyetlen lehetséges kölcsönhatás a pillanatnyi ütközés a szabad elektron és egy ion között, mely egy adott valószínűséggel következik be egy időegység alatt. [6]

A Drude-modell egy tisztán klasszikus model, az elektronokat és az ionokat szilárd gömbként kezeli.

Magyarázatok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

DC tér[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Drude-modell feltételezi, hogy az elektromos tér (E) egységes és konstans, és így az elektronok termikus sebessége elegendő nagy ahhoz, hogy elenyésző kis mennyiségű d\mathbf{p} nyomatékot tároljanak az ütközések között, melyek átlagosan minden \tau másodpercben fordulnak elő. [3] Így az ütközéstől \tau ideig mozgó elektronok t időben elszigetelődnek és nyomatékot akkumulálnak.

d\langle\mathbf{p}\rangle = q \mathbf{E} \tau.

Az utolsó ütközés alatt, ez az elektron előre és hátra pattog és minden előző esemény figyelmen kivül hagyható, mely a következő kifejezést eredményezi

\langle\mathbf{p}\rangle = q \mathbf{E} \tau.

Behelyettesítve az összefüggéseket

\langle\mathbf{p}\rangle = m \langle\mathbf{v}\rangle,
\mathbf{J} = n q \langle\mathbf{v}\rangle,

a fent említett Ohm törvényét eredményezi:


\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.



Az idő-függő analízis[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A dinamikus viszonyok az ellenható erő bevezetésével irhatók le t=t_0+dt időben az elektron átlagos nyomatéka

\langle\mathbf{p}(t_0+dt)\rangle=\left( 1 - \frac{dt}{\tau} \right) \langle\mathbf{p}(t_0)\rangle + q\mathbf{E}dt,


mert átlagosan, ( 1 - dt/\tau ) elektron nem tapasztal még egy ütközést. [7]

Az eredmény differenciálegyenlettel:

\frac{d}{dt}\langle\mathbf{p}(t)\rangle = q\mathbf{E} - \frac{\langle\mathbf{p}(t)\rangle}{\tau},

ahol \langle\mathbf{p}\rangle az átlagos nyomatékot jelenti, m az effektív tömeg, q az elektron töltése. Ennek az inhomogén differenciálegyenletnek a megoldása lehet p(t)-re:

\langle\mathbf{p}(t)\rangle = q \tau \mathbf{E} + \mathbf{C} e^{-t/\tau}

Az állandó állapotú megoldás (\frac{d}{d t}\langle\mathbf{p}\rangle = 0):

\langle\mathbf{p}\rangle = q \tau \mathbf{E},

Mint látható a fentiekben, az átlagos nyomaték az átlagos sebességel függ össze és viszont az áramsűrűséggel,

\langle\mathbf{p}\rangle = m \langle\mathbf{v}\rangle,
\mathbf{J} = n q \langle\mathbf{v}\rangle,

és látható, hogy ez kielégíti Ohm törvényét a \, \sigma_0 DC vezetőképességgel

\mathbf{J} = \left( \frac{n q^2 \tau}{m} \right) \mathbf{E}.
Komplex vezetőképesség


A komplex vezetőképesség különböző frekvenciákon feltételezi a \tau=10^{-5} és \sigma_0=1

A Drude-modell megjósolja az áramot is, mint választ az idő-függő elektromos tér esetén \, \omega frekvencián


\sigma(\omega) = \frac{\sigma_0}{1 + i\omega\tau}.

Itt a feltételezés:

E(t) = \Re(E_0 e^{i\omega t});
J(t) = \Re(\sigma(\omega) E_0 e^{i\omega t}).



Más konvenciók esetén \, i-t helyettesíthatjük \, -i-vel, minden egyenletben.

A képzetes rész mutatja, hogy az áram elmarad az elektromos tértől, mert az elektronnak időre van szüksége a gyorsuláshoz az elektromos tér változásának hatására. Itt a Drude-modellt elektronra alkalmazták; lehet elektronra és lyukakra is alkalmazni, azaz a félvezetőkben lévő pozitív töltéshordozókra.

A modell pontossága[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyszerű Drude-modell igen jó magyarázatot ad a fémek DC és AC vezetőképességere, a Hall-effektusra és az elektronra visszavezethető hővezetésre szobahőmérsékleten. A modell megmagyarázza a Wiedemann–Franz törvényt (1853) is. Mindazonáltal jelentősen túlbecsüli a fémek hőkapacitását. A valóságban a fémek és szigetelőknek közel azonos hőkapacitása van szobahőmérsékleten. A modell alkalmazható pozitív törtéshordozókra (lyukak), ahogy az a Hall-effektusnál látható, de nem jósolta meg létezésüket. Egy jelentéktelen hiba is található a modellben: az elektromos vezetőképességet felére becsülte, mint ahogy az a klasszikus értelemben létezik. [8]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Drude, Paul (1900.). „Zur Elektronentheorie der metalle”. Annalen der Physik 306 (3), 566. o. DOI:10.1002/andp.19003060312.  
  2. Drude, Paul (1900.). „Zur Elektronentheorie der Metalle; II. Teil. Galvanomagnetische und thermomagnetische Effecte”. Annalen der Physik 308 (11), 369. o. DOI:10.1002/andp.19003081102.  
  3. ^ a b Neil W. Ashcroft, N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College, 6–7. o (1976). ISBN 0-030839-939 
  4. Edward M. Purcell. Electricity and Magnetism. McGraw-Hill, 117–122. o (1965). ISBN 978-0-070049-086 
  5. David J. Griffiths. Introduction to Electrodynamics. Prentice-Hall, 289. o (1999). ISBN 978-0138053260 
  6. ^ a b Neil W. Ashcroft, N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College, 2–3. o (1976). ISBN 0-030-83993-9 
  7. Neil W. Ashcroft, N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College, 11. o (1976). ISBN 0-030-83993-9 
  8. Neil W. Ashcroft, N. David Mermin. Solid State Physics. Saunders College, 23. o (1976). ISBN 0-03-083993-9