Skalártér
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Skalarfeld.png/220px-Skalarfeld.png)
A fizikában a skalártér, más néven skalármező egy-egy skalármennyiséget rendel a tér minden pontjához (ld. függvény). Ha a skalármennyiség nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár, akkor a teret pszeudoskalártérnek nevezzük. A tér lehet a szokásos euklideszi tér (másképpen hármastér), de Minkowski-tér (a fizikában másképpen ez a négyestér) is. Például minden ponthoz hozzárendelik az ottani hőmérsékletet. A skalármezők a vektoranalízisben is fontosak.
Definíció
Ha a φ(P) függvény a tér vagy egy térrész minden pontjához egy számot (skalárt) rendel, akkor φ(P) skalármező. Matematikai szempontból a skalármező értelmezési tartománya vektortér, vagy annak egy része, de a fizikai alkalmazásokban nem foglalkoznak ezzel.
Speciálisan, n=3-ra:
Fizikai példák skalártérre
- A klasszikus fizikában a potenciálmezők (például gravitációs potenciál), kivéve az időtől is függő potenciálokat.
- További klasszikus fizikai példák a légnyomás, a hőmérséklet, vagy a sűrűség.
- A kvantumtérelmélet a nulla spinű részecskékhez skalárteret rendel.
- A standard modell Higgs-bozonját skalártér írja le
Szintfelületek
A szintfelületek (nívóhalmazok) azoknak a pontoknak a halmaza, ahol a skalármező értéke állandó. Síkon értelmezett skalármező esetén inkább szintvonalakról (nívóvonalakról) beszélnek. A skalármező értelmezési tartományának minden pontján áthalad egy, és csak egy szintfelület. A szintfelületek merőlegesen metszenek minden rajtuk áthaladó felületi görbét.
Operátorok
A skalártérre a következő differenciáloperátorok alkalmazhatók:
Integrál
A skalármezőnek felületi integrálja van. Ez az integrál így számítható:
ahol φ a skalármező és S a felület.
Green-formula
A skalármezők a Green-formulában is megjelennek.
S egyszerű zárt felület, kifelé irányított normálvektorral. Jelölje V az S által körülzárt térrészt, és legyenek a φ, ψ vektormezők kétszer folytonosan differenciálhatók! Ekkor
ahol a Laplace-operátor.