Az integrálszámítás tágabb értelemben a matematika analízis nevű ágának a része, újabb és szűkebb értelemben azonban csak a primitív függvények meghatározásának módszertanát és technikáit értjük alatta. Eredeti tárgykörét a 20. században jelentős eredményekkel gazdagított mérték- és integrálelmélet fogadta magába.
A matematikában az integrál fogalma alatt általában a valós függvénytan kalkulusán belül oktatott, Riemann-féle integrál fogalmát értjük, és az integrálszámítás szűkebb értelemben vett célja valós függvények primitív függvényeinek meghatározása, és ezek alkalmazása különféle (például geometriai és statikai) problémák megoldásában.
Alapintegrálok
Alapintegráloknak nevezzük az elemi valós függvények differenciálási szabályainak megfordításából adódó primitív függvényeket.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Általános integrálási szabályok
Tagonkénti integrálás
A tagonkénti integrálás az integrálandó lineáris kifejezések széttagolhatóságát jelenti, a következő műveleti tulajdonságok folytán:
Additivitás
Összegfüggvény (különbségfüggvény) primitív függvénye a tagok primitív függvényeinek összege (különbsége).
Homogenitás
Függvény konstansszorosának primitív függvénye a függvény primitív függvényének konstansszorosa.
Tagonként integrálható függvények például a polinomfüggvények.
Parciális integrálás
A vizsgált intervallumon folytonosan differenciálható f és g függvények esetén
Parciálisan integrálhatók például a sinn x, cosn x, exsinn x és excosn x függvények, továbbá P(x) valós polinomfüggvény esetén parciálisan integrálható:
választással;
választással;
választással;
választással;
választással;
választással.
Helyettesítéses integrálás
A vizsgált intervallumon folytonos f és folytonosan differenciálható g függvény esetén, ha F = ∫ f(x) dx, akkor
Megjegyzés. A helyettesítést az f( g(x) ) g'(x) alakú integrandus esetén konkrétan is elvégezhetjük, ha bevezetjük a t = g(x) új integrálási változót. Ennek differenciálja pont dt = g'(x) dx, így ekkor az integrál ∫ f(t) dt alakot ölt:
Nevezetes alesetek:
Speciális integrálási módszerek
Racionális törtfüggvények integrálása
Egy valós változóból és valós számokból a négy alapművelettel képzett, végső soron két polinom hányadosaként előálló
racionális törtfüggvény integrálása a következő lépésekben történhet:
- A valós együtthatós racionális
törtfüggvényt maradékos osztással az
alakra hozzuk, ahol a
polinom fokszáma már kisebb, mint a
polinom fokszáma.
- A
nevezőt első- és (negatív diszkriminánsú) másodfokú főpolinomok egyértelműen előálló szorzatára bontjuk:
- A
törtet a
faktorainak megfelelő parciális törtek összegére bontjuk fel:
A parciális törtek
együtthatói a megfelelő lineáris egyenletrendszer megoldásával számíthatók ki.
- A parciális törtekre bontott kifejezést tagonként integráljuk a következő összefüggések alapján:
![{\displaystyle \int {\frac {A}{x-a}}\,dx=A\ln |x-a|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df83fa9a0905b24998cacf778e8797eb4bc65bc3)
![{\displaystyle \int {\frac {A}{(x-a)^{k}}}\,dx={\frac {A}{(1-k)(x-a)^{k-1}}}\quad (1<k\in \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d5a09fc4982156fe7848e20ad51b91a4009956)
![{\displaystyle \int {\frac {Bx+C}{x^{2}+bx+c}}\,dx={\frac {B}{2}}\ln |x^{2}+bx+c|+{\frac {C-{\frac {Bb}{2}}}{\sqrt {c-{\frac {b^{2}}{4}}}}}\,\arctan {\frac {x+{\frac {b}{2}}}{\sqrt {c-{\frac {b^{2}}{4}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/090cf2b6cc7c5e40f85fd8d32f929f45b180c320)
Az utolsó integrandus nevezőjében lévő másodfokú polinomot pedig teljes négyzetté alakítva, a megfelelő helyettesítéssel az integrál
alakúra hozható, amelyet a következő redukciós formula segítségével számíthatunk ki: ![{\displaystyle I_{l}={\frac {1}{2l-2}}{\frac {t}{(t^{2}+1)^{l-1}}}+{\frac {2l-3}{2l-2}}I_{l-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cd244acde2b58e6e15b332f147040648a5fc78f)
Trigonometrikus függvények integrálása
Trigonometrikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett
racionális kifejezések integrálása a
helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.
A helyettesítésből
;
és
adódik.
Exponenciális függvények integrálása
Az exponenciális függvényből és valós számokból a négy alapművelettel képzett
racionális kifejezések integrálása a
helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.
A helyettesítésből
adódik.
Hiperbolikus függvények integrálása
Hiperbolikus függvényekből és valós számokból a négy alapművelettel képzett
racionális kifejezések integrálása a
helyettesítéssel visszavezethető egy racionális törtfüggvény integrálására.
A helyettesítésből
;
és
adódik.
Minthogy azonban a hiperbolikus függvények voltaképpen speciális exponenciális függvények, az exponenciális függvények integrálási módszere is alkalmazható rájuk.
Irracionális függvények integrálása
A négy alapműveleten kívül gyökvonást vagy törtkitevőt is tartalmazó irracionális kifejezések integrálása a megfelelő helyettesítéssel sok esetben szintén visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására. A legfontosabb esetek a következők:
alakú kifejezés integrálása
helyettesítéssel;
alakú kifejezés integrálása
helyettesítéssel;
alakú kifejezés integrálása
esetén
, illetve
esetén
helyettesítéssel;
alakú kifejezés integrálása
helyettesítéssel, ahol
a kitevők
nevezőinek legkisebb közös többszöröse.
Az Euler-féle helyettesítések
alakú irracionális kifejezések integrálása a következő helyettesítések valamelyikével általában visszavezethető racionális törtfüggvény integrálására:
;
;
ahol
az
polinom valós gyöke.
A határozott integrál alkalmazásai
Területszámítás
Görbe alatti terület
Az
határozott integrál geometriai jelentése: az
,
,
egyenesek és az
függvénygörbe által határolt síkidom előjeles területe (abban az értelemben, hogy az x tengely alá eső területrészt az integrál negatív előjellel számolja). Ebből következik, hogy az
és
függvénygörbék, valamint az
és
egyenesek által határolt síkidom területe:
![{\displaystyle \left|\int \limits _{a}^{b}[f(x)-g(x)]\,dx\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64e70c58cf0a46a8b5febfe788d07e25fe2070b0)
Az
,
,
paraméteres alakban megadott görbe alatti terület:
Szektorterület
Az
,
,
paraméteres alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[x(t)y'(t)-x'(t)y(t)]\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0feb284121648128b827443398bd5cc23cb5cb2)
Az
,
polárkoordinátás alakban megadott görbéhez az origóból húzott szektor területe:
Ívhosszszámítás
Ha az
függvény az
intervallumon differenciálható, és
ugyanitt folytonos, akkor a függvénygörbe hosszúsága az adott intervallumon:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3bfd62da3c3c12f895c7eff1efddcd3b56ff879)
Az
,
,
paraméteres alakban megadott folytonos ív hossza:
![{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a38cfd469e5a5df93fa08ea10ff47219b0af4f)
Az
,
polárkoordinátás alakban megadott folytonos ív hossza:
Térfogatszámítás
Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos
függvény írja le, akkor a forgástestnek a tengely
szakaszára eső térfogata:
![{\displaystyle \pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78f1356c9369ae0dd5d552c4bc901b0c6dac87c)
Az
,
,
paraméteres alakban megadott folytonos ív x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest térfogata:
Felszínszámítás
Ha az x tengelyre forgásszimmetrikus test palástjának a tengellyel párhuzamos ívét a folytonos
függvény írja le, akkor a tengely
szakasza körüli palást felszíne:
![{\displaystyle 2\pi \int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0506ef46e5b8891a8aa40667ca45ea1cc6482440)
Az
,
,
paraméteres alakban megadott folytonos ív x tengely körüli megforgatásával nyert forgástest palástjának felszíne:
Súlypontszámítás
Az
függvénygörbe a és b abszcisszájú pontok által határolt ívének a súlypontja:
![{\displaystyle x_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}x{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}\qquad y_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}{\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}\,dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0982a9026f2d47b1d6742b8bf03c0a0951ad1192)
Ugyanezen ív alatti lemez súlypontja:
![{\displaystyle x_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}xf(x)\,dx}{\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}}\qquad y_{s}={\frac {\int \limits _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx}{2\int \limits _{a}^{b}f(x)\,dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f87ab10026d1bad9747db6e1310237806b6f921)
Az ívet az x tengely körül megforgatva, a kapott forgástest súlypontjának abszcisszája pedig:
Források