Redukciós formulák

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A redukciós formulák bizonyos I_n=\int f(x,n) \,dx alakú határozatlan integrálokra adnak rekurziót. Ezek a rekurziók gyakran jól alkalmazhatók bizonyos határozott integrálok kiszámítására.

Legfontosabb redukciós formulák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Trigonometrikus redukciós formulák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\int \sin^n x dx=\frac{(n-1)}{n}\int \sin^{n-2} x \, dx -\frac{1}{n}\sin^{n-1} x \, \cos x
\int \cos^n x dx=\frac{(n-1)}{n}\int \sin^{n-2} x \, dx +\frac{1}{n}\sin^{n-1} x \, \cos x

A két formula levezetése analóg, mi csak az elsőt mutatjuk be. Parciálisan integrálva:

\int \sin^{n-1} x \, (-\cos' x)\, dx= -\sin^{n-1} x \, \cos x + (n-1)\int \sin^{n-2} x \, \cos^2 x\, dx, ahol
\int \sin^{n-2} x \, \cos^2 x\, dx=\int \sin^{n-2} x \, (1-sin^2x), dx.

Visszaírva és, rendezve:

n\int \sin^{n-1} x \, (-\cos' x)\, dx=(n-1)\int \sin^{n-2} x \, dx -\sin^{n-1} x \, \cos x , ami már maga a redukciós formula.

\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}=\frac{1}{2n-2}\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}+\frac{2n-3}{2n-2}\int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}

Hogy ezt belássuk, a számlálót írjuk át:

\int \frac{dx}{(1+x^2)^n}=\int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}-\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}\,dx

Parciálisan integrálva:

\int \frac{x^2}{(1+x^2)^n}\,dx=\frac{1}{2n-2}\left[\frac{-x}{(1+x^2)^{n-1}}+\int \frac{dx}{(1+x^2)^{n-1}}\right], amit rendezve már a kívánt formulához jutunk.

\int x^n e^{ax}\,dx[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Parciálisan integrálva kapjuk, hogy

\int x^n e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}\left[{a}x^n e^{ax}-n\int x^n e^{ax}\,dx\right]

Alkalmazások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Trigonometrikus helyettesítéseknél[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Irracionális függvények határozott integráljának a kiszámításakor gyakran alkalmazhatunk olyan trigonometrikus helyettesítést, ahol az integrandusz a helyettesítés után sin, vagy cos polinomja, és a határok \frac{\pi}{2} többszörösei. Ekkor hasznos a következő két formula, amit a redukciós formulák alkalmazásával könnyen megkaphatunk:

 \int _0 ^{\pi/2}sin^{2n+1} x \,dx=\frac{2\cdot 4\ldots 2n}{3\cdot 5\ldots (2n+1)}
 \int _0 ^{\pi/2}sin^{2n} x \,dx=\frac{1\cdot 3\ldots (2n-1)}{2\cdot 4\ldots (2n)}\cdot\frac{\pi}{2}

Racionális törtfüggvények integrálásakor[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Racionális törtfüggvény primitív függvényének a meghatározásakor a függvényt parciális törtekre bontjuk. A kapott összeadandók primitív függvényét zárt alakban megkaptuk, kivéve az \int \frac{dx}{(x^2+1)^n} alakú tagokét. Hogy ezen tagok határozott integrálját is számolhassuk, redukciós formulát alkalmazunk:

I_n=\int_a^b\frac{dx}{1+x^2}
I_n=\frac{1}{2n-2}\Big[\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}\Big]_a^b+\frac{2n-3}{2n-2}I_{n-1}=\frac{1}{2n-2}\Big[\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}\Big]_a^b+\frac{2n-3}{(2n-2)(2n-4)}\Big[\frac{x}{(1+x^2)^{n-1}}\Big]_a^b+\,\ldots\,+\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\Big[\text{arc tg } x\Big]_a^b

Gamma-függvény[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Felhasználva, hogy

\int_0^{\infty}e^{-t} \,dt=1,

az idevágó redukciós formulából adódik, hogy

\int_0^{\infty}x^ne^{-t} \,dt=n!.

A gamma-függvény szokásos definíciójával egybevetve:

\Gamma(n+1)=n!

Ugyanazt a parciális integrálást elvégezve, amit a vonatkozó redukciós formulánál elvégeztük kapjuk, hogy

\Gamma(x)=(x-1)\Gamma(x-1).

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Banach, S.: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, 1967