Rendezett test

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az absztrakt algebrában rendezett testnek nevezük az \Bbb F testet, ha elemein definiálva van egy < reláció az alábbi tulajdonságokkal:

  1. Tetszőleges a, b \in \Bbb F-re a<b, b<a és a=b közül pontosan egy teljesül.
  2. Ha 0<a, b akkor 0<ab.
  3. Ha a<b akkor a+c<b+c.

A rendezett test a valós analízis egyik legfontosabb fogalma, minthogy a valós számok legtöbb axiómarendszere abból indul ki, hogy ezek rendezett testet alkotnak.

A definíció egyszerű következményei[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Rendezett testben 0<1.
  • Rendezett test karakterisztikája 0.
  • A rendezett testek mindig végtelenek.
  • Rendezett testben minden nemnulla elem négyzete nagyobb nullánál.
  • Rendezett test részteste is rendezett.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Rendezett testet alkotnak a valós számok, a racionális számok és a valós algebrai számok. Nem alkotnak rendezett testet a komplex számok és az algebrai számok sem.

Elrendezhetőség, formálisan valós és valósan zárt test[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A definícióban szereplő < relációt rendezésnek nevezzük. Egy test elrendezhető, ha definiálható rajta rendezés.

Egy test akkor és csak akkor elrendezhető, ha benne a -1 nem négyzetösszeg. Ez az Artin–Schreier-tétel. Az ilyen testeket formálisan valósnak nevezzük.

Valósan zárt egy test, ha formálisan valós, de egyetlen algebrai bővítése sem formálisan valós. Ha egy rendezett test valósan zárt, akkor csak egy rendezése van.

Arkhimédészien rendezett test[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy \Bbb F test arkhimédészien rendezett, ha tetszőleges a \in \Bbb F-hez található olyan n természetes szám, hogy a<n. Arkhimédészien rendezett testet alkotnak a valós és a racionális számok.

Nem arkhimédészien rendezett testet alkot a valós együtthatós polinomok gyűrűjének \Bbb H hányadosteste a következő rendezéssel: legyen 0<h(x) \in \Bbb H akkor, ha h(x) határértéke a végtelenben pozitív (esetleg végtelen). Ebben a \Bbb H testeben az x elem minden természetes számnál nagyobb.

Forrás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]