$n$ -test probléma

A lap ellenőrzött változata (ellenőrizve: 2021. április 1.) ezen a változaton alapul.

Az N-test probléma elvileg N darab gravitációsan kölcsönhatásban lévő test mozgásának vizsgálata. A gyakorlatban égitestek mozgásának megértése volt a cél, mint például a Nap, bolygók és látható csillagok mozgásai.

Először Isaac Newton foglalkozott az N-test problémával. Mivel a gravitáció felelős a bolygók és csillagok mozgásáért, Newton ezt a kölcsönhatást differenciálegyenletekben fejezte ki, a Principia (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) nevű művében. Newton igazolta, hogy gömbszimmetrikus testek úgy modellezhetők, hogy pontszerű tömegnek tekintjük őket.^[1] A 2-test problémát teljesen megoldották. N=3 esetre létezik megoldás speciális esetekre. Általános megoldás első integrállal nem lehetséges a mai tudásunk szerint. (Első integrál olyan függvény, mely a hely- és sebességkoordináták között teremt kapcsolatot).^[2] Egy egzakt elméleti megoldás adható tetszőleges n-re Taylor-sorokkal, de a gyakorlatban ezeket a végtelen sorokat le kell csonkítani a közelítő megoldáshoz. Több numerikus integráláson alapuló megoldás is létezik, de ezek mind közelítő megoldások.

Az N-test probléma matematikai kifejezése

Az égi mechanikában, az általános N-test probléma egy kezdeti érték probléma a közönséges differenciálegyenlet megoldásainak körében. Legyenek az összes kölcsönösen egymástól különböző j és k-ra a kezdeti értékek: $\mathbf {q} _{j}(0)$ a pozícióra, ${\dot {\mathbf {q} }}_{j}(0)$ a sebességre, n részecskére (j = 1,...,n), $\mathbf {q} _{j}(0)\neq \mathbf {q} _{k}(0)$ mellett, akkor a másodrendű rendszer megoldása:

m_{j}{\ddot {\mathbf {q} }}_{j}=G\sum \limits _{k\neq j}{\frac {m_{j}m_{k}(\mathbf {q} _{k}-\mathbf {q} _{j})}{|\mathbf {q} _{k}-\mathbf {q} _{j}|^{3}}},j=1,\ldots ,n\qquad \qquad \qquad (1)

ahol $m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}$ állandók reprezentálják az n pontszerű tömegeket, $\mathbf {q} _{1},\mathbf {q} _{2},\ldots ,\mathbf {q} _{n}$ a t időváltozó 3 dimenziós vektor függvényei, és G a gravitációs állandó. Ez az egyenlet Newton második mozgástörvénye, ahol az egyenlet bal oldala a részecskék tömeggyorsulást, a jobb oldal a részecskékre ható erők szummája. Itt az erőkön gravitációs erőt kell érteni, melyek arányosak a tömeggel, és a tömegek közötti távolság négyzetével fordítva arányosak. N-2 esetre a problémát teljesen megoldja a Johann Bernoulli-féle megoldás.

Általános megjegyzések a problémához

A fizikai irodalomban olvasható, hogy az N-test probléma megoldása lehetetlen. Ezt a kijelentést óvatosan kell kezelni, mert ez csak az első integrálos módszerre vonatkozik. Az N-test probléma 6 $n$ változót tartalmaz, mivel minden részecskét három tér változó, és három momentum változó jellemez. Az első integrálok (közönséges differenciálegyenletekre) olyan függvények, melyek állandók maradónak egy adott rendszer megoldás folyamán, az állandó a megoldástól függ. Más szavakkal, az integrálok kapcsolatot teremtenek a rendszer változói között úgy, hogy minden skalár integrál lehetővé teszi a rendszer dimenzióinak csökkentését egy egységgel. Ez csak akkor működik, ha az integrál algebrai függvény, és nem egy komplikált függvény a változók tekintetében. Ha az integrál transzcendens (transzcendens szám), akkor a csökkentés nem lehetséges.

Az N-test problémának 10 független algebrai integrálja van:

3, a tömegközpontra
3, lineáris momentumra
3, az impulzusmomentumra
1, az energiára

Ezek lehetővé teszik a változók számának csökkentést 6-ra.

Numerikus integrálás

Numerikus integrálás módszerével többféle megoldás létezik a pontosság és a sebesség függvényében.^[3] A legegyszerűbb integrátor, az Euler-módszer, az első rendű megoldás. Másodrendű módszer, a békaugrás-integrálás, de van magasabb rendű megoldás is, mint a Runge–Kutta-módszer. A szimplektikus integrátor módszert is gyakran alkalmazzák.

2-test probléma

3-test probléma

Sundman megoldása a 3-test problémára

Karl Frithiof Sundman (1873–1949), finn matematikus.

Az N-test probléma általános megoldása

Karl Frithiof Sundman 3-test probléma megoldását lehet általánosítani, de figyelembe kell venni két akadályt:

1. Carl Ludwig Siegel (1896–1981), német matematikus kimutatta, hogy analitikusan nem lehet megoldani a 2-test esetnél az ütközéseket, ezért Sundman megoldását nem lehet általánosítani

2. A szingularitások szerkezete igen komplikált.

Végül Sundman eredményére alapozva Qiudong Wang, kínai-amerikai matematikus 1991-ben megoldotta a problémát és általánosította Sundman 1912-es állítását. Mivel a szingularitások szerkezete nagyon komplikált, Wang teljesen elhagyta a szingularitások kérdését. Ennek a megközelítésnek a központja a transzformáció, mely egy új rendszerhez vezet, ahol az új rendszer tartománya $[0,\infty )$ .

Az N-test probléma szingularitásai

Kétféle szingularitás lehetséges:

Kettő vagy több test ütközése, ahol a testek pozíciói végtelenek maradnak.(matematikai értelemben az ütközés itt azt jelenti, hogy két testnek azonos a pozíciója a térben)
Szingularitás, ahol ütközés nem fordulhat elő, de a testek pozíciói nem maradnak végtelenek. Ebben a szcenárióban, a testek divergálnak a végtelen felé véges idő alatt, míg azonos időben a zéró elkülönüléshez tendálnak (képzetes ütközés a végtelenben történik)

Ez utóbbit „ütközésmentes szingularitásnak” hívják. Ezek létezést a Painlevé-féle sejtés említi.^[4]

Irodalom

Diacu, F: The solution of the n-body Problem. (hely nélkül): The Mathematical Intelligencer. 1996. 66–70. o.

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ The library of Trinity College, Cambridge, has Newton's own copy of the first edition, with handwritten notes for the second edition
↑ Archivált másolat. [2009. december 3-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. január 5.)
↑ N-Body/Particle Simulation Methods. [2001. április 5-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. január 5.)
↑ Xia, Zhihong (1992). „The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems”. Annals of Mathematics 135 (3), 411–468. o.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a N-body problem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

[1] The library of Trinity College, Cambridge, has Newton's own copy of the first edition, with handwritten notes for the second edition

[2] Archivált másolat. [2009. december 3-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. január 5.)

[3] N-Body/Particle Simulation Methods. [2001. április 5-i dátummal az eredetiből archiválva]. (Hozzáférés: 2013. január 5.)

[4] Xia, Zhihong (1992). „The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems”. Annals of Mathematics 135 (3), 411–468. o.

[1]

[2]

[3]

[4]