N-test probléma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az N-test probléma elvileg N darab gravitációsan kölcsönhatásban lévő test mozgásának vizsgálata. A gyakorlatban égitestek mozgásának megértése volt a cél, mint például a Nap, bolygók és látható csillagok mozgásai.

Először Isaac Newton foglalkozott az N-test problémával. Mivel a gravitáció felelős a bolygók és csillagok mozgásáért, Newton ezt a kölcsönhatást differenciálegyenletekben fejezte ki, a Principia (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) nevű művében. Newton igazolta, hogy gömbszimmetrikus testek úgy modellezhetők, hogy pontszerű tömegnek tekintjük őket.[1] A 2-test problémát teljesen megoldották. N=3 esetre létezik megoldás speciális esetekre. Általános megoldás első integrállal nem lehetséges a mai tudásunk szerint. (Első integrál olyan függvény, mely a hely- és sebességkoordináták között teremt kapcsolatot). [2] Egy egzakt elméleti megoldás adható tetszőleges n-re Taylor-sorokkal, de a gyakorlatban ezeket a végtelen sorokat le kell csonkítani a közelítő megoldáshoz. Több numerikus integráláson alapuló megoldás is létezik, de ezek mind közelítő megoldások.

Az N-test probléma matematikai kifejezése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az égi mechanikában, az általános N-test probléma egy kezdeti érték probléma a közönséges differenciálegyenlet megoldásainak körében. Legyenek az összes kölcsönösen egymástól különböző j és k-ra a kezdeti értékek: \mathbf{q}_j(0) a pozícióra, \dot{\mathbf{q}}_j(0) a sebességre, n részecskére (j = 1,...,n), \mathbf{q}_j(0) \neq \mathbf{q}_k(0) mellett, akkor a másodrendű rendszer megoldása:

 m_j \ddot{\mathbf{q}}_j	= G \sum\limits_{k\neq j} \frac{m_j m_k(\mathbf{q}_k-\mathbf{q}_j)}{|\mathbf{q}_k-\mathbf{q}_j|^3}, j=1,\ldots,n \qquad \qquad \qquad (1)

ahol  m_1,m_2,\ldots,m_n állandók reprezentálják az n pontszerű tömegeket, \mathbf{q}_1,\mathbf{q}_2,\ldots,\mathbf{q}_n a t időváltozó 3-dimenziós vektor függvényei, és G a gravitációs állandó. Ez az egyenlet Newton második mozgástörvénye, ahol az egyenlet bal oldala a részecskék tömeggyorsulást, a jobb oldal a részecskékre ható erők szummája. Itt az erőkön gravitációs erőt kell érteni, melyek arányosak a tömeggel, és a tömegek közötti távolság négyzetével fordítva arányosak. N-2 esetre a problémát teljesen megoldja a Johann Bernoulli-féle megoldás.

Általános megjegyzések a problémához[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A fizikai irodalomban olvasható, hogy az N-test probléma megoldása lehetetlen. Ezt a kijelentést óvatosan kell kezelni, mert ez csak az első integrálos módszerre vonatkozik. Az N-test probléma 6n változót tartalmaz, mivel minden részecskét három tér változó, és három momentum változó jellemez. Az első integrálok (közönséges differenciálegyenletekre) olyan függvények, melyek állandók maradónak egy adott rendszer megoldás folyamán, az állandó a megoldástól függ. Más szavakkal, az integrálok kapcsolatot teremtenek a rendszer változói között úgy, hogy minden skalár integrál lehetővé teszi a rendszer dimenzióinak csökkentését egy egységgel. Ez csak akkor működik, ha az integrál algebrai függvény, és nem egy komplikált függvény a változók tekintetében. Ha az integrál transzcendens (transzcendens szám), akkor a csökkentés nem lehetséges.

Az N-test problémának 10 független algebrai integrálja van:

  • 3, a tömegközpontra
  • 3, lineáris momentumra
  • 3, az impulzusmomentumra
  • 1, az energiára

Ezek lehetővé teszik a változók számának csökkentést 6-ra.

Numerikus integrálás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Numerikus integrálás módszerével többféle megoldás létezik a pontosság és a sebesség függvényében.[3] A legegyszerűbb integrátor, az Euler-módszer, az első rendű megoldás. Másodrendű módszer, a békaugrás-integrálás, de van magasabb rendű megoldás is, mint a Runge–Kutta-módszer. A szimplektikus integrátor módszert is gyakran alkalmazzák.

2-test probléma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

3-test probléma[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Sundman megoldása a 3-test problémára[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Karl Frithiof Sundman, (1873 -1949), finn matematikus.

Az N-test probléma általános megoldása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Karl F. Sundman 3-test probléma megoldását lehet általánosítani, de figyelembe kell venni két akadályt:

1. Carl Ludwig Siegel (1896 -1981), német matematikus kimutatta, hogy analitikusan nem lehet megoldani a 2-test esetnél az ütközéseket, ezért Sundman megoldását nem lehet általánosítani

2. A szingularitások szerkezete igen komplikált.

Végül Sundman eredményére alapozva Qiudong Wang, kínai-amerikai matematikus, a 1991-ben megoldotta a problémát és általánosította Sundman 1912-es állítását. Mivel a szingularitások szerkezete nagyon komplikált, Wang teljesen elhagyta a szingularitások kérdését. Ennek a megközelítésnek a központja a transzformáció, mely egy új rendszerhez vezet, ahol az új rendszer tartománya [0,\infty).

Az N-test probléma szingularitásai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kétféle szingularitás lehetséges:

  • Kettő vagy több test ütközése, ahol a testek pozíciói végtelenek maradnak.(matematikai értelemben az ütközés itt azt jelenti, hogy két testnek azonos a pozíciója a térben)
  • Szingularitás, ahol ütközés nem fordulhat elő, de a testek pozíciói nem maradnak végtelenek. Ebben a szcenárióban, a testek divergálnak a végtelen felé véges idő alatt, míg azonos időben a zéró elkülönüléshez tendálnak (képzetes ütközés a végtelenben történik)

Ez utóbbit „ütközésmentes szingularitásnak” hívják. Ezek létezést a Painlevé-féle sejtés említi.[4]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Diacu, F: The solution of the n-body Problem. (hely nélkül): The Mathematical Intelligencer. 1996. 66–70. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. The library of Trinity College, Cambridge, has Newton's own copy of the first edition, with handwritten notes for the second edition
  2. http://astro.elte.hu/icsip/egi_mechanika/kettest_problema/1fejezet.html
  3. N-Body/Particle Simulation Methods
  4. Xia, Zhihong (1992.). „The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems”. Annals of Mathematics 135 (3), 411–468. o.  

Ez a szócikk részben vagy egészben a N-body problem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.