N-test probléma

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az N-test probléma elvileg N darab gravitációsan kölcsönhatásban lévő test mozgásának vizsgálata. A gyakorlatban égitestek mozgásának megértése volt a cél, mint például a Nap, bolygók és látható csillagok mozgásai.

Először Isaac Newton foglalkozott az N-test problémával. Mivel a gravitáció felelős a bolygók és csillagok mozgásáért, Newton ezt a kölcsönhatást differenciálegyenletekben fejezte ki, a Principia (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) nevű művében. Newton igazolta, hogy gömbszimmetrikus testek úgy modellezhetők, hogy pontszerű tömegnek tekintjük őket.[1] A 2-test problémát teljesen megoldották. N=3 esetre létezik megoldás speciális esetekre. Általános megoldás első integrállal nem lehetséges a mai tudásunk szerint. (Első integrál olyan függvény, mely a hely- és sebességkoordináták között teremt kapcsolatot).[2] Egy egzakt elméleti megoldás adható tetszőleges n-re Taylor-sorokkal, de a gyakorlatban ezeket a végtelen sorokat le kell csonkítani a közelítő megoldáshoz. Több numerikus integráláson alapuló megoldás is létezik, de ezek mind közelítő megoldások.

Az N-test probléma matematikai kifejezése[szerkesztés]

Az égi mechanikában, az általános N-test probléma egy kezdeti érték probléma a közönséges differenciálegyenlet megoldásainak körében. Legyenek az összes kölcsönösen egymástól különböző j és k-ra a kezdeti értékek: a pozícióra, a sebességre, n részecskére (j = 1,...,n), mellett, akkor a másodrendű rendszer megoldása:

ahol állandók reprezentálják az n pontszerű tömegeket, a t időváltozó 3 dimenziós vektor függvényei, és G a gravitációs állandó. Ez az egyenlet Newton második mozgástörvénye, ahol az egyenlet bal oldala a részecskék tömeggyorsulást, a jobb oldal a részecskékre ható erők szummája. Itt az erőkön gravitációs erőt kell érteni, melyek arányosak a tömeggel, és a tömegek közötti távolság négyzetével fordítva arányosak. N-2 esetre a problémát teljesen megoldja a Johann Bernoulli-féle megoldás.

Általános megjegyzések a problémához[szerkesztés]

A fizikai irodalomban olvasható, hogy az N-test probléma megoldása lehetetlen. Ezt a kijelentést óvatosan kell kezelni, mert ez csak az első integrálos módszerre vonatkozik. Az N-test probléma 6 változót tartalmaz, mivel minden részecskét három tér változó, és három momentum változó jellemez. Az első integrálok (közönséges differenciálegyenletekre) olyan függvények, melyek állandók maradónak egy adott rendszer megoldás folyamán, az állandó a megoldástól függ. Más szavakkal, az integrálok kapcsolatot teremtenek a rendszer változói között úgy, hogy minden skalár integrál lehetővé teszi a rendszer dimenzióinak csökkentését egy egységgel. Ez csak akkor működik, ha az integrál algebrai függvény, és nem egy komplikált függvény a változók tekintetében. Ha az integrál transzcendens (transzcendens szám), akkor a csökkentés nem lehetséges.

Az N-test problémának 10 független algebrai integrálja van:

  • 3, a tömegközpontra
  • 3, lineáris momentumra
  • 3, az impulzusmomentumra
  • 1, az energiára

Ezek lehetővé teszik a változók számának csökkentést 6-ra.

Numerikus integrálás[szerkesztés]

Numerikus integrálás módszerével többféle megoldás létezik a pontosság és a sebesség függvényében.[3] A legegyszerűbb integrátor, az Euler-módszer, az első rendű megoldás. Másodrendű módszer, a békaugrás-integrálás, de van magasabb rendű megoldás is, mint a Runge–Kutta-módszer. A szimplektikus integrátor módszert is gyakran alkalmazzák.

2-test probléma[szerkesztés]

3-test probléma[szerkesztés]

Sundman megoldása a 3-test problémára[szerkesztés]

Karl Frithiof Sundman (1873–1949), finn matematikus.

Az N-test probléma általános megoldása[szerkesztés]

Karl Frithiof Sundman 3-test probléma megoldását lehet általánosítani, de figyelembe kell venni két akadályt:

1. Carl Ludwig Siegel (1896–1981), német matematikus kimutatta, hogy analitikusan nem lehet megoldani a 2-test esetnél az ütközéseket, ezért Sundman megoldását nem lehet általánosítani

2. A szingularitások szerkezete igen komplikált.

Végül Sundman eredményére alapozva Qiudong Wang, kínai-amerikai matematikus 1991-ben megoldotta a problémát és általánosította Sundman 1912-es állítását. Mivel a szingularitások szerkezete nagyon komplikált, Wang teljesen elhagyta a szingularitások kérdését. Ennek a megközelítésnek a központja a transzformáció, mely egy új rendszerhez vezet, ahol az új rendszer tartománya .

Az N-test probléma szingularitásai[szerkesztés]

Kétféle szingularitás lehetséges:

  • Kettő vagy több test ütközése, ahol a testek pozíciói végtelenek maradnak.(matematikai értelemben az ütközés itt azt jelenti, hogy két testnek azonos a pozíciója a térben)
  • Szingularitás, ahol ütközés nem fordulhat elő, de a testek pozíciói nem maradnak végtelenek. Ebben a szcenárióban, a testek divergálnak a végtelen felé véges idő alatt, míg azonos időben a zéró elkülönüléshez tendálnak (képzetes ütközés a végtelenben történik)

Ez utóbbit „ütközésmentes szingularitásnak” hívják. Ezek létezést a Painlevé-féle sejtés említi.[4]

Irodalom[szerkesztés]

  • Diacu, F: The solution of the n-body Problem. (hely nélkül): The Mathematical Intelligencer. 1996. 66–70. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. The library of Trinity College, Cambridge, has Newton's own copy of the first edition, with handwritten notes for the second edition
  2. http://astro.elte.hu/icsip/egi_mechanika/kettest_problema/1fejezet.html
  3. N-Body/Particle Simulation Methods
  4. Xia, Zhihong (1992.). „The Existence of Noncollision Singularities in Newtonian Systems”. Annals of Mathematics 135 (3), 411–468. o.  

Ez a szócikk részben vagy egészben a N-body problem című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.