Szimplektikus integrátor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A szimplektikus integrátor (SI) a numerikus integrálás egy módszere, speciálisan a klasszikus mechanikában és a szimplektikus geometriában előforduló differenciálegyenletek megoldására.

A szimplektikus integrátorok a geometriai integrátorok alosztálya, melyek definíció szerint kanonikus transzformációk. Alkalmazásuk a molekuláris dinamikában, gyorsítófizikában és égi mechanikában fordul elő.

Bevezetés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A szimplektikus integrátorokat a Hamilton-egyenletek megoldására készítették:

\dot p = -\frac{\partial H}{\partial q} \quad\mbox{and}\quad \dot q = \frac{\partial H}{\partial p},

ahol q a pozíció koordináták, p a momentum koordináták, és H a Hamilton függvény. (q,p) koordináták együttesét kanonikus koordinátáknak hívják.(Hamilton-féle mechanika) [1]

A legtöbb numerikus módszer, mint például az Euler-módszer[2], és a klasszikus Runge–Kutta-módszer, nem szimplektikus integrátorok.

A részekre osztás módszere[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Feltételezzük, hogy a Hamilton függvény részekre osztható, és felírható a következő formában: [3]


H(p,q) = T(p) + V(q). \qquad\qquad (1)

T, a kinetikus energia V, a potenciális energia Vezessük be a z=(q,p) szimbólumot, a kanonikus koordinátákra. Ekkor a bevezetőben említett Hamilton egyenletek kifejezhetők:


\dot{z}=\{z,H(z)\} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)

Ahol \{\cdot, \cdot\} a Poisson zárójel. Továbbá bevezetjük a D_H = \{\cdot, H\} operátort. Ekkor:


\dot{z}=D_H z.

A formális megoldás:


z(\tau)=\exp(\tau D_H)z(0). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (3)

Így:


z(\tau) = \exp[\tau (D_T + D_V)]z(0). \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)

Az SI kifejezés közelít az idő-haladó operátorhoz a (4)-es kifejezésben egy operátor szorzataként:


\exp[\tau (D_T + D_V)] = \prod_{i=1}^k \exp(c_i \tau D_T)\exp(d_i \tau D_V) + O(\tau^{k+1}), \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (5)

ahol c_i és d_i valós számok, és k egy egész szám, melyet az integrátor rendszámának hívnak.

\exp(c_i \tau D_T) és \exp(d_i \tau D_V) operátorok szimplektikus leképzést adnak, így a szorzatuk az (5)-ben, szintén egy szimplektikus leképzést ad. Konkrét kifejezésben, a \exp(c_i \tau D_T) adja:


\begin{pmatrix}
q\\ p
\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
q'\\ p'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
q + \tau c_i \frac{\partial T}{\partial p}(p)\\
p
\end{pmatrix}

és \exp(d_i \tau D_V) adja


\begin{pmatrix}
q\\ p
\end{pmatrix}
\mapsto
\begin{pmatrix}
q'\\ p'
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
q \\
p - \tau d_i \frac{\partial V}{\partial q}(q)\\
\end{pmatrix}.

Mindkét leképzés számítástechnikailag programozható.[4]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard: Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. (hely nélkül): Springer. 2006. ISBN 9783540306634  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Ruth, Ronald D. (August 1983). "A Canonical Integration Technique". Nuclear Science, IEEE Trans. on NS-30 (4): 2669–2671. Bibcode 1983ITNS...30.2669R. doi:10.1109/TNS.1983.4332919.
  2. http://tankonyvtar.ttk.bme.hu/html/pataki_calculus/calculusapplets/euler.html
  3. Candy, J.; Rozmus, W (1991). "A Symplectic Integration Algorithm for Separable Hamiltonian Functions". J. Comput. Phys. 92: 230. Bibcode 1991JCoPh..92..230C. doi:10.1016/0021-9991(91)90299-Z.
  4. Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006). Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (2 ed.). Springer. ISBN 978-3-540-30663-4.