Szimplektikus integrátor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A szimplektikus integrátor (SI) a numerikus integrálás egy módszere, speciálisan a klasszikus mechanikában és a szimplektikus geometriában előforduló differenciálegyenletek megoldására.

A szimplektikus integrátorok a geometriai integrátorok alosztálya, melyek definíció szerint kanonikus transzformációk. Alkalmazásuk a molekuláris dinamikában, gyorsítófizikában és égi mechanikában fordul elő.

Bevezetés[szerkesztés]

A szimplektikus integrátorokat a Hamilton-egyenletek megoldására készítették:

ahol a pozíció koordináták, a momentum koordináták, és a Hamilton függvény. koordináták együttesét kanonikus koordinátáknak hívják.(Hamilton-féle mechanika)[1]

A legtöbb numerikus módszer, mint például az Euler-módszer,[2] és a klasszikus Runge–Kutta-módszer, nem szimplektikus integrátorok.

A részekre osztás módszere[szerkesztés]

Feltételezzük, hogy a Hamilton függvény részekre osztható, és felírható a következő formában:[3]

T, a kinetikus energia V, a potenciális energia Vezessük be a szimbólumot, a kanonikus koordinátákra. Ekkor a bevezetőben említett Hamilton egyenletek kifejezhetők:

Ahol a Poisson zárójel. Továbbá bevezetjük a operátort. Ekkor:

A formális megoldás:

Így:

Az SI kifejezés közelít az idő-haladó operátorhoz a (4)-es kifejezésben egy operátor szorzataként:

ahol és valós számok, és egy egész szám, melyet az integrátor rendszámának hívnak.

és operátorok szimplektikus leképzést adnak, így a szorzatuk az (5)-ben, szintén egy szimplektikus leképzést ad. Konkrét kifejezésben, a adja:

és adja

Mindkét leképzés számítástechnikailag programozható.[4]

Irodalom[szerkesztés]

  • Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard: Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. (hely nélkül): Springer. 2006. ISBN 9783540306634  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Ruth, Ronald D. (August 1983). "A Canonical Integration Technique". Nuclear Science, IEEE Trans. on NS-30 (4): 2669–2671. Bibcode 1983ITNS...30.2669R. doi:10.1109/TNS.1983.4332919.
  2. http://tankonyvtar.ttk.bme.hu/html/pataki_calculus/calculusapplets/euler.html
  3. Candy, J.; Rozmus, W (1991). "A Symplectic Integration Algorithm for Separable Hamiltonian Functions". J. Comput. Phys. 92: 230. Bibcode 1991JCoPh..92..230C. doi:10.1016/0021-9991(91)90299-Z.
  4. Hairer, Ernst; Lubich, Christian; Wanner, Gerhard (2006). Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (2 ed.). Springer. ISBN 978-3-540-30663-4.