Identitás (geometria)

Az n dimenziós téren identitás az az egybevágósági transzformáció, ami minden pontot önmagába visz. Helyben hagyásnak vagy identikus transzformációnak is nevezik.

Tulajdonságok

• adott téren az identitás egyértelmű
• irányítástartó
• tekinthető forgatásnak: szöge k·360°
  • bármely pont választható forgásközéppontnak
• tekinthető eltolásnak: az eltolásvektor a nullvektor
• minden pont fixpont
• ha a sík egy egybevágóságának van három olyan fixpontja, ami nem esik egy egyenesre, akkor az csak az identitás lehet
• előáll pontra tükrözés, tengelyes tükrözés vagy síkra tükrözés önmagával vett szorzataként
• bármely transzformációval felcserélhető

Algebra

Az identitás a különböző transzformációcsoportok egységeleme:

• az adott középpont körüli forgatások
• az adott tér eltolásai
• az adott tér mozgásai (irányítástartó transzformációi)
• egybevágósági transzformációk
• hasonlósági transzformációk
• affin transzformációk
• projektív transzformációk

Az identitáshoz tartozó mátrix az egységmátrix,

a síkban:

$\mathrm {Id} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}.$

a térben:

$\mathrm {Id} _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

Magasabb dimenziós terekben is egyesek állnak a főátlón, a többi helyen nulla.

Források

• https://web.archive.org/web/20081021092706/http://web.axelero.hu/ebalog/matektetel.htm
• https://web.archive.org/web/20081104062923/http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sik/siktraf/siktraf.htm ha három, nem egy egyenesen levő pont fix, akkor a transzformáció az identitás
• http://www.math.klte.hu/~kozma/affin.pdf valós számok rendezéstartó leképezése
• https://web.archive.org/web/20081205021741/http://xml.inf.elte.hu/~mathdid/szakdolg/viki/lexindex.html identitás mint forgatás

• H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai
• Szabó Zoltán: Bevezető fejezetek a geometriába
• Reiman István: Geometria és határterületei
• R. Courant - H. Robbins: Mi a matematika?
• Bazilijev - Dunyicsev -Ivanyickaja: Geometria (Tankönyvkiadó, 1985)
• D. Hilbert - S. Cohn-Vossen: Szemléletes geometria (Gondolat, 1982)