Hesse-mátrix

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}$

Egy n-változós függvény Hesse-mátrixa

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben Hesse-féle mátrixnak (ejtsd: hessze) egy többváltozós valós függvény másodrendű parciális deriváltjaiból alkotott négyzetes mátrixát nevezzük.

Legyen

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),\,\!$

n-változós valós függvény. Ha mindegyik másodrendű parciális deriváltja létezik az f értelmezés tartományának egy x belső pontjában, akkor a Hesse-mátrix mátrixelemei a

$[\mathbf {H} ^{f}(x)]_{ij}=\partial _{ij}^{2}f(x)\,\!$

számok, ahol x = (x₁, x₂, …, x_n), i, j tetszőleges számok 1-től n-ig, ∂²_ij pedig a másodrendű parciális deriválás jele.

A Hesse-féle mátrix determinánsa a Hesse-determináns. A Hesse-determináns elnevezést először James Joseph Sylvester használta, Ludwig Otto Hesse tiszteletére, aki először vezette be és „függvénydeterminánsnak” nevezte.

Hesse-mátrix szimmetrikussága

A Hesse-mátrix főátlóján kívüli elemei a vegyes másodrendű parciális deriváltak. Young tétele értelmében ha az f függvény az u pont egy környezetében mindenütt kétszer parciálisan differenciálható és az u pontban a második deriváltak folytonosak, akkor a parciális deriválás nem függ a deriválás sorrendjétől, azaz a vegyes deriváltak egyenlők. Ez pontosan azt jelenti, hogy a Hesse-mátrix szimmetrikus. Például kétváltozós f függvénynél (u-ban f kétszer folytonosan differenciálható)

$[\mathbf {H} ^{f}(u)]_{21}={\frac {\partial ^{2}f(u)}{\partial y\partial x}}={\frac {\partial ^{2}f(u)}{\partial x\partial y}}=[\mathbf {H} ^{f}(u)]_{12}$.

A Hesse-mátrix mint a deriválttenzor mátrixa

Ha az f függvény az U halmazon értelmezett n-változós valós függvény és az U halmazon létezik az f gradiense, és a grad(f) : U $\to$ Rⁿ leképezés totálisan differenciálható az u∈ U pontban, akkor a gradiensfüggvény differenciáljának mátrixa a sztenderd bázisra vonatkozólag éppen a Hesse-mátrix:

$[\mathrm {d\,(grad\,} f)(u)]=\mathbf {H} ^{f}(u)\,$

A d (grad f)(u) tenzor tekinthető úgy, mint az f másodrendű differenciálja az u-ban és teljesül rá, hogy minden x ∈ U-ra :

$f(x)=f(u)+\mathrm {grad} \,f(u)\cdot (x-u)+{\frac {1}{2}}(x-u)\mathrm {H} ^{f}(u)(x-u)+\varepsilon (x)||x-u||^{2}$

ahol ε folytonos u-ban és ott eltűnik.

Stacionárius pont és szélsőérték létezése

Ha a többváltozós valós f kétszer folytonosan differenciálható, és $\mathrm {grad} \,f(u)=0$, akkor értelmezési tartományának u pontját stacionárius pontnak nevezzük. Ha a Hesse-determináns u-ban nulla, akkor ez degenerált kritikus pont.

A Hesse-mátrix segítségével megfogalmazható a többváltozós valós értékű függvények másodikderivált-próbája. Tegyük fel, hogy az u pontban az f-nek stacionárius pontja és legyen

$Q_{u}^{f}(\mathbf {v} )=\mathbf {v} \mathrm {H} ^{f}(u)\mathbf {v} \,$

a H^f(u)-hoz asszociált kvadratikus leképezés.

Ha a Q^f_u(v) kifejezés pozitív minden nemnulla v vektorra, azaz ha Q^f_u pozitív definit, akkor f-nek u-ban lokális minimuma van. Ez a tulajdonság Sylvester tétele alapján azt jelenti, hogy H^f(u) mátrixának bal felső kvadratikus aldeterminánsai csupa pozitív értékeket felvevő sorozatot alkotnak:

$\partial _{11}f(u)>0,\quad {\underset {\scriptstyle {1=i,j\leq 2}}{\det }}[\partial _{ij}f(u)]>0,\quad \dots \quad \det \,\mathrm {H} ^{f}(u)>0$

Ha a Q^f_u(v) kifejezés negatív minden nemnulla v vektorra, azaz ha Q^f_u negatív definit, akkor f-nek u-ban lokális maximuma van. Ekkor az aldeterminánsok előjelváltóak:

$\partial _{11}f(u)<0,\quad {\underset {\scriptstyle {1=i,j\leq 2}}{\det }}[\partial _{ij}f(u)]>0,\quad {\underset {\scriptstyle {1=i,j\leq 3}}{\det }}[\partial _{ij}f(u)]<0,\quad \dots \quad \det \,\mathrm {H} ^{f}(u){\underset {>}{<}}0$

Indefinit esetben vagyis amikor Q felvesz pozitív és negatív értékeket is, a próba állítása szerint biztosan nincs szélsőérték. Szemidefinit esetben, amikor van olyan nemnulla v, amire Q^f_u(v)=0, a próba nem jár sikerrel.

Kétváltozós függvény szélsőértékei

Speciálisan kétváltozós függvények esetén a próba konkrétan a következők ellenőrzését jelenti:

1. ha det H^f(u) > 0 és ∂₁₁f(u) > 0, akkor u-ban lokális minimum van,
2. ha det H^f(u) > 0 és ∂₁₁f(u) < 0, akkor u-ban lokális maximum van,
3. ha det H^f(u) < 0, akkor u-ban nincs lokális szélsőérték (valamilyen típusú nyeregpontról beszélünk)
4. ha det H^f(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel.

Megjegyzés. Ha a Hesse-mátrix elemei

$\mathrm {H} ^{f}(u)={\begin{pmatrix}A&B\\B&C\end{pmatrix}}$

akkor a Hesse-determinánsa D = AC – B² és így olyan eset nincs, hogy ∂₁₁f(u) = 0 lenne, miközben D > 0.

Példák

Az f(x,y) = x² + xy + y² leképezés szélsőértékének keresése esetén célravezető a Hesse-féle determináns vizsgálata.

Definit eset

Legyen

$f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,$

Ekkor grad f = ( 2x + y , 2y + x ), vagyis az elsőderivált próba szerint a

2x + y = 0

2y + x = 0

egyenletrendszer megoldásai közül kerülhetnek ki a szélsőértékek. A megoldás: (x, y) = (0, 0).

A második parciális deriváltakat kiszámítva, a Hesse-mátrix minden pontban

$\mathrm {H} ^{f}(x,y)={\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}}$

azaz det H^f = 4 - 1 = 3 > 0 és ∂₁₁f = 2 > 0 miatt (0, 0) szélsőértékhely és minimumpont.

Indefinit eset

Az f(x,y) = x² + xy - y² leképezés szélsőértékének keresése esetén célravezet a Hesse-féle determináns vizsgálata.

Legyen

$f(x,y)=x^{2}+xy-y^{2}\,$

Ekkor grad f = ( 2x + y , -2y + x ), melynek zérushelye a (0, 0) pont.

A Hesse-mátrix minden pontban

$\mathrm {H} ^{f}(x,y)={\begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix}}$

innen det H^f = -4 – 1 = -5 < 0, így a próba megint sikeres, éspedig állíthatjuk, hogy (0, 0) biztosan nem szélsőértékhely. Ebben a pontban a függvények úgynevezett nemdegenerált nyeregpontja van. Egy stacionárius pont nem degenerált, ha abban a pontban a Hesse-féle determináns nem nulla értékű.

Szemidefinit eset

Az f(x,y) = x² + 2xy + y² leképezés esetén a Hesse-féle determináns vizsgálata nem vezet célra

Legyen

$f(x,y)=x^{2}+2xy+y^{2}\,$

Ekkor grad f = ( 2x + 2y , 2y + 2x ), így a gradiens zérushelye minden olyan (x, y) pont, amire x = - y. Ezekben a pontokban a Hesse-mátrix:

$\mathrm {H} ^{f}(x,y)={\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}}$

azaz det H^f = 4 – 4 = 0, azaz a próba nem járt sikerrel. De tudjuk, hogy

$f(x,y)=x^{2}+2xy+y^{2}=(x+y)^{2}\,$

ami pontosan akkor minimális, ha x + y = 0, és ezeken a helyeken valóban szélsőértéke van, mert itt a függvény a lehető legkisebb, azaz 0 értéket veszi föl.

Implicit módon megadott görbe szinguláris pontjai

Azt mondjuk, hogy az

$F(x,y)=0\,$

egyenlettel megadott görbének szinguláris pontja az ($x_{0}$,$y_{0}$) pont, ha ebben a pontban az F függvénynek nincs intervallumon értelmezett differenciálható implicit függvénye egyik változóra vonatkozólag sem (azaz egyik változó sem fejezhető ki lokálisan a másikkal). Szinguláris pont szükséges feltétele az

$F(x_{0},y_{0})=0,\qquad \partial _{1}F(x_{0},y_{0})=0,\qquad \partial _{2}F(x_{0},y_{0})=0\qquad$

egyenletek egyidejű fennállása.

Ha F kétszer folytonosan differenciálható függvény és az origóra a fenti egyenlőségek teljesülnek, akkor az F függvény (0, 0)-beli Hesse-determinánsa vizsgálatával a görbe néhány jellegzetes vonására következtethetünk. Az F-et másodrenden közelítő kvadratikus leképezés számára a D = AC - B² Hesse-determináns ellentettje egyfajta diszkriminánsként működik. Három eset lehet. D < 0 esetén a kvadratikus leképezéshez nincs olyan irány, amely mentén az mindenhol nulla lenne. D = 0 esetén egy ilyen irány van, D > 0 esetén két különböző ilyen irány van.

1. Ha det H^F(0, 0) > 0, akkor (0, 0) izolált pontja a görbének (pl.: (x² + y²)(1 – y) = 0 az origóban). Ez azzal indokolható, hogy ekkor az F leképezésnek (0, 0)-ban szigorú lokális szélsőértéke van, így annak egy környezetében az F függvény az (0, 0)-t kivéve sehol sem nulla. Így az (0, 0)-beli implicit függvény egyedül az egyelemű {x₀} halmazon értelmezett y (x₀) = y₀ függvény.
2. Ha det H^F(0, 0) < 0, akkor (0, 0)-ban a görbe átmetsző (pl.: az x³ + y³ – 3xy = 0 Descartes-féle levélnél). Hiszen ekkor a (0, 0) pont nyeregpont, így a felület biztosan legalább két különböző irányban átmetszi az [xy] síkot.
3. Ha det H^F(0, 0) = 0, akkor a görbe számos módon viselkedhet; az egyik például, hogy saját magával érintkezik első rendben, azaz két ágának ugyanaz az érintőegyenese (pl.: x² – y⁴ = 0). De átmetsző is lehet, például az x²y² = 0 egyenletnél.

A feltételes szélsőérték-probléma Hesse-mátrixa

Ha az

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),$

függvény

$g(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=c,$

korlátozásnak alávetett megszorításának szélsőértékeit keressük, akkor ezt az

$f+\lambda (g-c)\,$

függvény szabad szélsőértékeinél kell keresnünk. Ha elégségességi vizsgálatokat is szándékozunk végezni, akkor felírhatjuk az f + λg feladat Hesse-mátrixát, a λ új változóval kiegészítve:

$H^{f+\lambda g}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},\lambda )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}\\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}\\\\{\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}&0\end{bmatrix}}$

Világos, hogy ez a mátrix soha sem lesz definit, mert a (0, 0, …, 1) nemnulla vektoron a z $\mapsto$ z'Hz leképezés a 0-t veszi föl. Ám ha már az n × n-es bal felső blokk definit, akkor már kijelenthetjük, hogy szigorú, lokális szélsőértékről beszélhetünk (pozitív definit esetben minimumról, negatív esetben maximumról).

Ez amiatt van, hogy a z'Hz kvadratikus leképezést a feltételi egyenletnek megfelelő alakban kell felírni, azaz ha ($z_{1}$, $z_{2}$, …, $z_{n}$) tetszőleges vektorok, akkor a

$z'H^{f}z\,$

kvadratikus alakot a feltételi egyenlet differenciálásával adódó

${\frac {\partial g}{\partial x_{1}}}z_{1}+{\frac {\partial g}{\partial x_{2}}}z_{2}+\dots +{\frac {\partial g}{\partial x_{n}}}z_{n}=0$

egyenletben szereplő valamely alkalmas változót kell kifejezni a többi függvényében és az így adódó z'Hz kvadratikus leképezést kell tovább vizsgálni.

Külső hivatkozások

• Hessian matrix a PlanetMath lapon