Hesse-mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Egy n-változós függvény Hesse-mátrixa

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben Hesse-féle mátrixnak (ejtsd: hessze) egy többváltozós valós függvény másodrendű parciális deriváltjaiból alkotott négyzetes mátrixát nevezzük.

Legyen

n-változós valós függvény. Ha mindegyik másodrendű parciális deriváltja létezik az f értelmezés tartományának egy x belső pontjában, akkor a Hesse-mátrix mátrixelemei a

számok, ahol x = (x1, x2, …, xn), i, j tetszőleges számok 1-től n-ig, ∂2ij pedig a másodrendű parciális deriválás jele.[1]

A Hesse-féle mátrix determinánsa a Hesse-determináns. A Hesse-determináns elnevezést először James Joseph Sylvester használta, Ludwig Otto Hesse tiszteletére, aki először vezette be és „függvénydeterminánsnak” nevezte.[2]

Hesse-mátrix szimmetrikussága[szerkesztés]

A Hesse-mátrix főátlóján kívüli elemei a vegyes másodrendű parciális deriváltak. Young tétele értelmében ha az f függvény az u pont egy környezetében mindenütt kétszer parciálisan differenciálható és az u pontban a második deriváltak folytonosak, akkor a parciális deriválás nem függ a deriválás sorrendjétől, azaz a vegyes deriváltak egyenlők. Ez pontosan azt jelenti, hogy a Hesse-mátrix szimmetrikus. Például kétváltozós f függvénynél (u-ban f kétszer folytonosan differenciálható)

.

A Hesse-mátrix mint a deriválttenzor mátrixa[szerkesztés]

Ha az f függvény az U halmazon értelmezett n-változós valós függvény és az U halmazon létezik az f gradiense, és a grad(f) : U Rn leképezés totálisan differenciálható az uU pontban, akkor a gradiensfüggvény differenciáljának mátrixa a sztenderd bázisra vonatkozólag éppen a Hesse-mátrix:

A d (grad f)(u) tenzor tekinthető úgy, mint az f másodrendű differenciálja az u-ban és teljesül rá, hogy minden xU-ra :

ahol ε folytonos u-ban és ott eltűnik.

Stacionárius pont és szélsőérték létezése[szerkesztés]

Ha a többváltozós valós f kétszer folytonosan differenciálható, és , akkor értelmezési tartományának u pontját stacionárius pontnak nevezzük. Ha a Hesse-determináns u-ban nulla, akkor ez degenerált kritikus pont.

A Hesse-mátrix segítségével megfogalmazható a többváltozós valós értékű függvények másodikderivált-próbája. Tegyük fel, hogy az u pontban az f-nek stacionárius pontja és legyen

a Hf(u)-hoz asszociált kvadratikus leképezés.

Ha a Qfu(v) kifejezés pozitív minden nemnulla v vektorra, azaz ha Qfu pozitív definit, akkor f-nek u-ban lokális minimuma van. Ez a tulajdonság Sylvester tétele alapján azt jelenti, hogy Hf(u) mátrixának bal felső kvadratikus aldeterminánsai csupa pozitív értékeket felvevő sorozatot alkotnak:

Ha a Qfu(v) kifejezés negatív minden nemnulla v vektorra, azaz ha Qfu negatív definit, akkor f-nek u-ban lokális maximuma van. Ekkor az aldeterminánsok előjelváltóak:

Indefinit esetben vagyis amikor Q felvesz pozitív és negatív értékeket is, a próba állítása szerint biztosan nincs szélsőérték. Szemidefinit esetben, amikor van olyan nemnulla v, amire Qfu(v)=0, a próba nem jár sikerrel.[3]

Kétváltozós függvény szélsőértékei[szerkesztés]

Speciálisan kétváltozós függvények esetén a próba konkrétan a következők ellenőrzését jelenti:

  1. ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) > 0, akkor u-ban lokális minimum van,
  2. ha det Hf(u) > 0 és ∂11f(u) < 0, akkor u-ban lokális maximum van,
  3. ha det Hf(u) < 0, akkor u-ban nincs lokális szélsőérték (valamilyen típusú nyeregpontról beszélünk)
  4. ha det Hf(u) = 0, akkor a próba nem járt sikerrel.[4]

Megjegyzés. Ha a Hesse-mátrix elemei

akkor a Hesse-determinánsa D = AC – B2 és így olyan eset nincs, hogy ∂11f(u) = 0 lenne, miközben D > 0.

Példák[szerkesztés]

Az f(x,y) = x2 + xy + y2 leképezés szélsőértékének keresése esetén célravezető a Hesse-féle determináns vizsgálata.

Definit eset[szerkesztés]

Legyen

Ekkor grad f = ( 2x + y , 2y + x ), vagyis az elsőderivált próba szerint a

2x + y = 0
2y + x = 0

egyenletrendszer megoldásai közül kerülhetnek ki a szélsőértékek. A megoldás: (x, y) = (0, 0).

A második parciális deriváltakat kiszámítva, a Hesse-mátrix minden pontban

azaz det Hf = 4 - 1 = 3 > 0 és ∂11f = 2 > 0 miatt (0, 0) szélsőértékhely és minimumpont.

Indefinit eset[szerkesztés]

Az f(x,y) = x2 + xy - y2 leképezés szélsőértékének keresése esetén célravezet a Hesse-féle determináns vizsgálata.

Legyen

Ekkor grad f = ( 2x + y , -2y + x ), melynek zérushelye a (0, 0) pont.

A Hesse-mátrix minden pontban

innen det Hf = -4 – 1 = -5 < 0, így a próba megint sikeres, éspedig állíthatjuk, hogy (0, 0) biztosan nem szélsőértékhely. Ebben a pontban a függvények úgynevezett nemdegenerált nyeregpontja van. Egy stacionárius pont nem degenerált, ha abban a pontban a Hesse-féle determináns nem nulla értékű.

Szemidefinit eset[szerkesztés]

Az f(x,y) = x2 + 2xy + y2 leképezés esetén a Hesse-féle determináns vizsgálata nem vezet célra

Legyen

Ekkor grad f = ( 2x + 2y , 2y + 2x ), így a gradiens zérushelye minden olyan (x, y) pont, amire x = - y. Ezekben a pontokban a Hesse-mátrix:

azaz det Hf = 4 – 4 = 0, azaz a próba nem járt sikerrel. De tudjuk, hogy

ami pontosan akkor minimális, ha x + y = 0, és ezeken a helyeken valóban szélsőértéke van, mert itt a függvény a lehető legkisebb, azaz 0 értéket veszi föl.

Implicit módon megadott görbe szinguláris pontjai[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy az

egyenlettel megadott görbének szinguláris pontja az (,) pont, ha ebben a pontban az F függvénynek nincs intervallumon értelmezett differenciálható implicit függvénye egyik változóra vonatkozólag sem (azaz egyik változó sem fejezhető ki lokálisan a másikkal). Szinguláris pont szükséges feltétele az

egyenletek egyidejű fennállása.

Ha F kétszer folytonosan differenciálható függvény és az origóra a fenti egyenlőségek teljesülnek, akkor az F függvény (0, 0)-beli Hesse-determinánsa vizsgálatával a görbe néhány jellegzetes vonására következtethetünk.[5] Az F-et másodrenden közelítő kvadratikus leképezés számára a D = AC - B2 Hesse-determináns ellentettje egyfajta diszkriminánsként működik. Három eset lehet. D < 0 esetén a kvadratikus leképezéshez nincs olyan irány, amely mentén az mindenhol nulla lenne. D = 0 esetén egy ilyen irány van, D > 0 esetén két különböző ilyen irány van.

  1. Ha det HF(0, 0) > 0, akkor (0, 0) izolált pontja a görbének (pl.: (x2 + y2)(1 – y) = 0 az origóban). Ez azzal indokolható, hogy ekkor az F leképezésnek (0, 0)-ban szigorú lokális szélsőértéke van, így annak egy környezetében az F függvény az (0, 0)-t kivéve sehol sem nulla. Így az (0, 0)-beli implicit függvény egyedül az egyelemű {x0} halmazon értelmezett y (x0) = y0 függvény.
  2. Ha det HF(0, 0) < 0, akkor (0, 0)-ban a görbe átmetsző (pl.: az x3 + y3 – 3xy = 0 Descartes-féle levélnél). Hiszen ekkor a (0, 0) pont nyeregpont, így a felület biztosan legalább két különböző irányban átmetszi az [xy] síkot.
  3. Ha det HF(0, 0) = 0, akkor a görbe számos módon viselkedhet; az egyik például, hogy saját magával érintkezik első rendben, azaz két ágának ugyanaz az érintőegyenese (pl.: x2y4 = 0). De átmetsző is lehet, például az x2y2 = 0 egyenletnél.

A feltételes szélsőérték-probléma Hesse-mátrixa[szerkesztés]

Ha az

függvény

korlátozásnak alávetett megszorításának szélsőértékeit keressük, akkor ezt az

függvény szabad szélsőértékeinél kell keresnünk. Ha elégségességi vizsgálatokat is szándékozunk végezni, akkor felírhatjuk az f + λg feladat Hesse-mátrixát, a λ új változóval kiegészítve:

Világos, hogy ez a mátrix soha sem lesz definit, mert a (0, 0, …, 1) nemnulla vektoron a z z'Hz leképezés a 0-t veszi föl. Ám ha már az n × n-es bal felső blokk definit, akkor már kijelenthetjük, hogy szigorú, lokális szélsőértékről beszélhetünk (pozitív definit esetben minimumról, negatív esetben maximumról).

Ez amiatt van, hogy a z'Hz kvadratikus leképezést a feltételi egyenletnek megfelelő alakban kell felírni, azaz ha (, , …, ) tetszőleges vektorok, akkor a

kvadratikus alakot a feltételi egyenlet differenciálásával adódó

egyenletben szereplő valamely alkalmas változót kell kifejezni a többi függvényében és az így adódó z'Hz kvadratikus leképezést kell tovább vizsgálni.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Serge Lang, Undergraduate calculus p 486, Springer 2nd ed 1997
  2. Jeff Miller & all Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
  3. Kristóf János, Az analízis elemei. II. ELTE jegyzet. 175. o. pdf Archiválva 2004. október 13-i dátummal a Wayback Machine-ben
  4. Balázs Márton – Kolumbán József,Matematikai analízis[halott link] 205. o., Ed. Dacia, Cluj-Napoca 1979.
  5. A. F. Bermant, Matematikai analízis II.[halott link], Tankönyvkiadó, Bp. 1951., 93. o.

Külső hivatkozások[szerkesztés]