Forgásfelület

Az x=2+cos z görbe egy szakasza a z tengely körül megforgatva.

A forgásfelület egy olyan felület, ami egy síkgörbe (ez a vezérgörbe) egy, a görbe síkjába eső egyenes (ez a forgástengely) körül való megforgatásával áll elő.

• Ha a vezérgörbe egy, a forgástengellyel párhuzamos egyenes, akkor hengerpalástot kaphatunk.
• Ha az egyenes vezérgörbe általános helyzetű, kúpfelület jön létre.
• Ha kört forgatunk meg egy átmérője körül, akkor gömbfelületet kapunk.
• Ha a kört egy síkjába eső, de rajta kívül húzódó tengely körül forgatjuk meg, akkor tóruszfelületet kapunk.
• Ha ellipszist forgatunk meg egyik tengelye körül, szferoidot kapunk.

Ha a görbe az $x(t)$, $y(t)$ parametrikus függvényekkel van megadva, ahol a $t$ egy $[a, b]$ intervallumon értelmezett, és a forgástengely az $y$ koordinátatengely, akkor az $A$ területet a következő integrállal adhatjuk meg (feltéve ha $x(t)$ sehol sem negatív):

$A = 2 \pi \int_a^b x(t) \ \sqrt{\left({dx \over dt}\right)^2 + \left({dy \over dt}\right)^2} \, dt$

Pappus–Guldin tétel

Az egyik Pappus–Guldin tétel kimondja, hogy a forgásfelület felszine egyenlő a vezérgörbe hosszának és a vezérgörbe súlypontja útjának szorzatával:

$A = s. r_s. \alpha \,$

Itt

$r_s \,$ a vezérgörbe súlypontjának távolsága a tengelytől,

$\alpha \,$ a megforgatás szöge.