Általános helyzet

Az analitikus, illetve algebrai geometria területén az általános helyzet pontokra vagy más mértani objektumra vonatkozó fogalom. Az általános esetre utal, szemben a lehetséges speciálisabb, illetve pontok egybeesésével járó esetekkel. Precíz jelentése esetenként különböző lehet.

Például a síkban két általános helyzetű egyenes (nem párhuzamosak és nem esnek egybe) egy ponton metszi egymást. Más megfogalmazás szerint „két általános egyenes egy pontban metszi egymást”, amit formálisan az általános pont fogalma fejez ki. Hasonlóan, három általános helyzetű pont a síkban nem esik egy egyenesre (nem kollineáris) – ha három pont kollineáris (vagy még inkább, ha közülük kettő egybeesik), elfajult esetről beszélhetünk.

Az általános helyzet az elméleti és az alkalmazott matematika fontos fogalma, mivel az elfajult esetek egyedi kezelést igényelhetnek; például általános tételek vagy más precíz állítások kimondásakor, számítógépes programok írásakor.

Általános lineáris helyzet

Egy $d$-dimenziós euklideszi térben legalább $d+1$ pont halmaza általános lineáris helyzetben (vagy egyszerűen általános helyzetben) van, amennyiben egy hipersík sem tartalmaz $d$-nél több pontot – azaz, a pontok nem elégítenek ki a szükséges számúnál több lineáris relációt. $k<d+1$ esetén $k$ akkor és csak akkor van általános lineáris pozícióban, ha egyetlen $(k-2)$-dimenziós altér (flat) sem tartalmazza mind a $k$ pontot.

Általános lineáris helyzetű pontok halmazát affin függetlennek nevezzük (ez a vektorok lineáris függetlenségének, precízebben a maximális rangnak az affin analógiája), az affin d-térben általános lineáris pozícióban lévő $d+1$ pontot pedig affin bázisnak. (Lásd még: affin transzformáció.)

Ehhez hasonlóan, egy n-dimenziós vektortérben n vektor akkor és csak akkor lineárisan független, ha az általuk az ($n-1$-dimenziós) projektív térben meghatározott pontok általános lineáris helyzetben vannak.

A nem általános lineáris helyzetben lévő pontokat elfajult esetnek, vagy elfajult elrendezésűnek nevezzük – olyan lineáris relációkat elégítenek ki, amik nem mindig állnak fent.

Egy fontos alkalmazása, hogy öt pont meghatároz egy kúpot, amennyiben a pontok általános lineáris helyzetűek (semelyik három nem kollineáris).

Még általánosabban

A fenti definíciók tovább általánosíthatók: beszélhetünk algebrai relációk adott osztálya szerinti általános pozíciójú pontokról (pl. kúpszeletek). Az algebrai geometriában gyakran előfordulnak ilyen jellegű feltételek, amennyiben az egyes pontoknak független feltételeket kell meghatározniuk a rajtuk átmenő görbékhez.

Például, öt pont meghatároz egy kúpot, de általános esetben hat pont nem fekszik egy kúpon, tehát a kúpokkal kapcsolatban általános helyzetű pontok esetében elvárt, hogy semelyik hat pont ne legyen rajta ugyanazon a kúpon.

Az általános helyzet alapszintű feltétele, hogy a pontok ne essenek a szükségesnél alacsonyabb szintű variánsba; a síkban két pont ne essen egybe, három pont ne essen egy egyenesbe, hat pont ne essen egy kúpba, tíz pont ne essen ugyanarra a harmadfokú síkgörbére, és így tovább.

Források

Ez a szócikk részben vagy egészben a General position című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. A fordítás eredetijének szerzőit az eredeti cikk laptörténete sorolja fel.