Szferoid

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Lencseszferoid
Orsószferoid

A szferoid vagy más néven forgási ellipszoid vagy kéttengelyű ellipszoid egy mértani test, amelyet akkor kapunk, ha egy ellipszist valamelyik tengelye mentén megpörgetünk. A szferoid speciális esete az ellipszoidnak, amikor az ellipszoid három tengelye közül kettő egyforma hosszúságú.

Amennyiben az ellipszist a rövidebb tengelye körül pörgetjük meg, lapos ún. lencseszferoidot kapunk. Ha viszont a hosszabbik tengelye körül forgatjuk meg az ellipszist, hosszúkás, ún. orsószferoidot kapunk.

A gömb pedig a szferoid speciális esete, amikor a megpörgetett ellipszis kör, vagy másképpen az ellipszoid mindhárom tengelye egyforma hosszú.

Matematikai alakja[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Mivel az ellipszoid egyenletében szereplő három tengely közül kettő egyforma, a szferoid egyenlete is leegyszerűsödik az alábbi formára:

\frac{X^2+Y^2}{a^2}+\frac{Z^2}{b^2}=1.\,\!

ahol X,Y és Z a térbeli koordináták, a és b pedig a megpörgetett ellipszis fél kis-, illetve fél nagytengelye attól függően, hogy az ellipszist a kis- vagy a nagytengelye mentén pörgettük meg.

Térfogata[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje a a nagytengelyt, és b a kistengelyt.

Ekkor az orsószferoid térfogata

V = \frac{4\pi}{3} a b^2,

és a lencseszferoidé

V = \frac{4\pi}{3} a^2 b.

Felszíne[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen ismét a a nagytengely, és b a kistengely.

Ekkor az orsószferoid felszíne

A = 2\pi b \left(b + \frac{a^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arcsin}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}a\right)\right),

és a lencseszferoidé

A = 2\pi a \left(a + \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\,\operatorname{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}b\right)\right).

Gyakorlati jelentősége[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A forgási orsószferoid kézenfekvő példái a boroshordók - ha egy ilyen szferoidot végeinél szimmetrikusan, a forgástengelyre merőlegesen csonkolunk, hordó alakot kapunk.

A szferoidnak a geometriai fontosságán túlmenően szerepe van a Föld, illetve más, gyorsan forgó égitestek alakjának (például Jupiter, Szaturnusz) meghatározásában.

Tekintve, hogy kis eltérések azért vannak a Föld tényleges alakja és bármely erre illeszkedő szferoid között, geodéziai feladat az adott területre vagy problématípusra kiszámolni a legjobban illeszkedő szferoidot. A Föld esetében a Föld matematikai alakját, a geoidot globálisan igen jól lehet közelíteni egy szferoiddal, az eltérés a legjobban illeszkedő szferoid és a geoid között nem haladja meg a 150 métert. (Az eltérést magát geoidundulációnak nevezzük.)

A térképészetben azonban nemcsak globálisan illeszkedő szferoidokat használnak, hanem a térképezendő területre még jobban illeszkedő, a globálistól eltérő paraméterekkel és térbeli elhelyezéssel bíró forgási ellipszoidokat.

Ennek megfelelően az egyes országok különféle szferoidokat használnak térképi/geodéziai alapnak. Magyarország a múlt századi háromszögelési hálózatai alapjául a Bessel-féle ellipszoidot, a második világháború utáni háromszögeléshez a Kraszovszkij-féle ellipszoidot alkalmazta. Az Egységes Országos Vetületi rendszer EOV létrehozásakor alapfelületként a Nemzetközi Geodéziai és Geofizikai Unió 1967. évi Geodéziai Vonatkozási Rendszerét (Geodetic Reference System), az IUGG GRS 1967 ellipszoidot választották alapnak. A GPS (Global Positioning System) a geocentrikus WGS 84 (WGS: World Geodetic System) ellipszoidot használja.

A felszínformulák levezetése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen {x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}-1=0 az a nagytengelyű és b kistengelyű ellipszoid egyenlete.

Orsószferoid[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az első Guldin-szabállyal

A = 2\pi\int_{-a}^a f(x)\sqrt{1+\left[f'(x)\right]^2}\mathrm{d}x

Ez annak a forgástestnek a felszíne, ami az ellipszis x tengely körüli forgatásával keletkezik. Itt a generátorgörbe egyenlete f(x)=\frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} , ami az ellipszoid egyenletét y-ra megoldva adódik.

Továbbá szükség van a jobb oldal x szerinti deriváltjára:

\int\sqrt{q-p x^2}\mathrm{d}x=\frac{x}{2} \sqrt{q-p x^2}+\frac{q }{2 \sqrt{p}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{p}}{\sqrt{q}}x\right).

Behelyettesítve

A = 2\pi\int_{-a}^a \frac{b}{a} \sqrt{a^2-x^2} \sqrt{1+\frac{b^2 x^2}{a^2 \left(a^2-x^2\right)}}\mathrm{d}x=
\frac{4\pi b}{a^2} \int_0^a \sqrt{a^4-\left(a^2-b^2\right) x^2}\mathrm{d}x.

Itt kihasználtuk az x tengely körüli forgásszimmetriát.

Az integrál határainak figyelembevételével

A = \frac{4\pi b }{a^2}\left(\frac{a}{2} \sqrt{a^4-\left(a^2-b^2\right)a^2}+\frac{ a^4}{2\sqrt{a^2-b^2}}\arcsin\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{a^4}}a\right) \right),

Ennek egyszerűsítésével adódik a fenti képlet.

Lencseszferoid[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A számítások az előzőekhez hasonlók.

Most az ellipszist az y tengely körül forgatjuk meg.

Ismét az első Guldin-szabályt használjuk:

A = 2\pi\int_{\min(f(x_l),f(x_r))}^{\max(f(x_l),f(x_r))} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left[\left(f^{-1}(y)\right)'\right]^2}\mathrm{d}y

Az ellipszis egyenletét x-re megoldva

f^{-1}(y)=\frac{a}{b} \sqrt{b^2-y^2}

és behelyettesítve az f(0) = b és f(a) = 0 értékeket kapjuk a következőt:

A = 4\pi\int_{0}^b \frac{a}{b} \sqrt{b^2-y^2} \sqrt{1+\frac{a^2 y^2}{b^2 \left(b^2-y^2\right)}}\mathrm{d}y=
\frac{4\pi a}{b^2} \int_0^b \sqrt{b^4+\left(a^2-b^2\right) y^2}\mathrm{d}y.

ahol újra kihasználtuk az ellipszoid forgásszimmetriáját.

További helyettesítésekkel és átalakításokkal adódik

A = \frac{4\pi a }{b^2}\left(\frac{b}{2} \sqrt{b^4+\left(a^2-b^2\right)b^2}+\frac{ b^4}{2\sqrt{a^2-b^2}} \operatorname{arsh}\left(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{\sqrt{b^4}}b\right) \right).

amit egyszerűsítve kapjuk a fenti képletet.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]