Ellipszoid

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ellipszoid

A térgeometriában az ellipszoid olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmasan orientált derékszögű koordináta-rendszerben

{x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}=1,

ahol a, b és c pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ellipszoid alakját. A speciális a=b=c esetben az ellipszoid egy a sugarú, origó középpontú gömb. Ha a, b és c közül kettő egyenlő, akkor az ellipszoidot szferoidnak nevezzük.

Javasolt elnevezése a forgatás tengelyétől függően lapos, vagy lencseszferoid illetve hosszúkás, vagy orsószferoid.

A három koordinátasík szimmetriasíkja az ellipszoidnak, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.

Az ellipszoid térfogatát a

V=\frac{4}{3}\pi abc.\,\!

képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki a, b és c elemi függvényeként.

Felszín[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel, mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz. A felszín Legendre nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:

Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy a>b>c legyen. Ekkor

k=\frac ab \frac{\sqrt{b^2-c^2}}{\sqrt{a^2-c^2}} és \varphi=\arcsin \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a},

így az integrálok

E(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \sqrt{\frac{1-k^2 x^2}{1-x^2}}\ \mathrm dx és F(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2 x^2}}\ \mathrm dx.

Ezzel a felszín

A=2\pi c^2+\frac{2\pi b}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 F(k,\varphi)+(a^2-c^2) E(k,\varphi)\right).

Helyettesítsük be most k-t, \varphi-t,

u=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a} -t, és  v=\frac{\sqrt{b^2-c^2}}{b}-t

az A egyenletbe. Ezzel

A=2\pi c^2+2\pi ab \int_0^1 \frac{1-u^2 v^2 x^2}{\sqrt{1-u^2 x^2} \sqrt{1-v^2 x^2}}\ \mathrm dx.

Knud Thomsen integrálmentes közelítő formulája:

A\approx 4\pi\!\left(\frac{ (a b)^{1.6}+(a c)^{1.6}+(b c)^{1.6} }{3}\right)^{0.625}\,\!.

Ez a képlet legfeljebb 1,2%-kal tér el a pontos felszíntől.

Egyre laposabb ellipszoidokat véve, ahol \left( c \to 0 \right) a felszínképlet a 2\pi ab -hez tart. Ez az a és b tengelyű ellipszis területének kétszerese.

A forgási ellipszoidok, azaz a szferoidok felszíne[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen a \ge b \ge c és legyen \varepsilon = \sqrt{1 - \left(\frac{c}{a}\right)^2} az y = 0 egyenletű síkkal vett metszet numerikus excentricitása.

Ekkor a lapos, lencseszferoid felszíne a=b>c (forgástengely = z-tengely)

A = 2 \pi a^2 \left( 1 + \left(\frac{c}{a}\right)^2 \,\frac{\operatorname{arth} \,\varepsilon}{\varepsilon} \right)

és az orsószferoidé a>b=c (forgástengely = x-tengely)

A = 2 \pi c^2 \left( 1 + \frac{a}{c} \, \frac{\arcsin \,\varepsilon}{\varepsilon} \right).

A szferoidok felszínképletének levezetése[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Lencseszferoid[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

b = a, tehát k = 1, ebből E(1,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \ \mathrm dx =\sin \varphi = \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a} és F(1,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{1-x^2}\ \mathrm dx = \operatorname{arth} (\sin \varphi) = \operatorname{arth} (\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}).

Legendre egyenletébe helyettesítve:

A=2\pi c^2+\frac{2\pi a}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 \operatorname{arth}(\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a})+(a^2-c^2) \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}\right).

Orsószferoid[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

b = c, tehát k = 0, ebből E(0,\varphi)= F(0,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ \mathrm dx = \arcsin (\sin \varphi) = \arcsin (\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}).

Legendre egyenletébe helyettesítve:

A=2\pi c^2+\frac{2\pi c}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 \arcsin (\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a})+(a^2-c^2) \arcsin (\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a})\right).

Paraméterezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Jelölje \beta\,\! a parametrikus szélességet, és {\color{white}+}\!\!\!\lambda{\color{white}'}\,\! a parametrikus hosszúságot. Ekkor az ellipszis a következőképpen paraméterezhető:

\begin{align}
x&=a\,\cos(\beta)\cos(\lambda);\!{\color{white}|}\\
y&=b\,\cos(\beta)\sin(\lambda);\\
z&=c\,\sin(\beta);\end{align}\,\!
\begin{matrix}-\frac{\pi}{2}\leq\beta\leq+\frac{\pi}{2};
\quad-\pi\leq\lambda\leq+\pi;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}\,\!

Ez a paraméterezés nem egy-egyértelmű a pólusoknál, ahol \scriptstyle{{\color{white}|}\beta=\pm{\frac{\pi}{4}}}{\color{white}|}\,\!

Gömbi koordinátákkal,

\begin{align}
x&=a\,\sin(\phi)\cos(\theta);\!{\color{white}|}\\
y&=b\,\sin(\phi)\sin(\theta);\\
z&=c\,\cos(\phi);\end{align}\,\!
\begin{matrix}0\leq\theta\leq 2\pi;
\quad{0}\leq\phi\leq \pi;\!{\color{white}\big|}\end{matrix}\,\!

Lineáris transzformációk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahogy a spektrálelméletből tudjuk, egy invertálható lineáris transzformáció a gömböt ellipszoidba viszi. Ha a lineáris transzformáció mátrixa szimmetrikus, akkor a mátrix sajátvektorai ortogonálisak, és megadják az ellipszoid tengelyeinek irányát. A féltengelyek hossza a sajátértékektől függ.

Ellipszoid és sík metszete vagy üres, vagy (egy esetleg egy pontú) ellipszis, ami kör is lehet.

A fentiek általánosíthatók magasabb dimenzióra is, ahol is a gömb képét nevezzük ellipszoidnak. A spektrálelmélet hasonló eredményeket ad.

Tojás alak[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tyúktojás alakja két egymáshoz simított fél ellipszoiddal közelíthető, melyek forgástengelye közös. Az egyik lapos, vagy közel gömb, a másik hosszúkás. A tojás alak rendszerint az egyenlítőre vett szimmetria hiányára utal.[1]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Egg Curves by Jürgen Köller.