Einstein-tenzor

A differenciálgeometriában az Einstein-tenzort (fordított Ricci-tenzornak is hívják) arra használják, hogy alkalmazásával kifejezzék a Riemann-sokaság görbültségét. Az általános relativitáselméletben az Einstein-tenzor az Einstein-féle gravitációs téregyenleteknél fordul elő, melyek az energiával kapcsolatos megfontolásokkal konzisztens módon írják le a téridő görbültségét.

Meghatározás

Az Einstein-tenzor ($\mathbf{G}$) egy másodrendű tenzor a Riemann-sokaságban. Indexmentes kifejezéssel:

$\mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}\mathbf{g}R,$

ahol $\mathbf{R}$ a Ricci-tenzor, $\mathbf{g}$ a metrikus tenzor,és $R$ a skalár görbület. Komponens formában kifejezve az előző egyenlet:

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {1\over2} g_{\mu\nu}R.$

Az Einstein-tenzor szimmetrikus:

$G_{\mu\nu} = G_{\nu\mu}\,$

és az energia-impulzus tenzorhoz hasonlóan divergenciamentes

$G^{\mu\nu}{}_{; \nu} = 0\,.$

Explicit kifejezés

A Ricci-tenzor csak a metrikus tenzortól függ, így az Einstein-tenzort közvetlenül a metrikus tenzorral lehet definiálni. Azonban ez a kifejezés komplex, és ritkán használják. Ennek a kifejezésnek a komplexicitása jól látható, ha a Ricci-tenzort a Christoffel-szimbólumokkal fejezzük ki:

$\begin{align} G_{\alpha\beta} &= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} R \\ &= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\gamma\zeta} R_{\gamma\zeta} \\ &= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta}) R_{\gamma\zeta} \\ &= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta})(\Gamma^\epsilon_{\gamma\zeta,\epsilon} - \Gamma^\epsilon_{\gamma\epsilon,\zeta} + \Gamma^\epsilon_{\epsilon\sigma} \Gamma^\sigma_{\gamma\zeta} - \Gamma^\epsilon_{\zeta\sigma} \Gamma^\sigma_{\epsilon\gamma}), \end{align}$

ahol $\delta^\alpha_\beta$ a Kronecker-tenzor és a Christoffel szimbólum $\Gamma^\alpha_{\beta\gamma}$ meghatározása:

$\Gamma^\alpha_{\beta\gamma} = \frac{1}{2} g^{\alpha\epsilon}(g_{\beta\epsilon,\gamma} + g_{\gamma\epsilon,\beta} - g_{\beta\gamma,\epsilon}).$

Egy lokális közeli pont speciális esetében, a metrikus tenzor első deriváltjai eltünnek, és az Einstein-tenzor komponens formája jelentős mértékben egyszerüsődik:

$\begin{align}G_{\alpha\beta} & = g^{\gamma\mu}\bigl[ g_{\gamma[\beta,\mu]\alpha} + g_{\alpha[\mu,\beta]\gamma} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\epsilon\sigma} (g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon})\bigr] \\ & = g^{\gamma\mu} (\delta^\epsilon_\alpha \delta^\sigma_\beta - \frac{1}{2} g^{\epsilon\sigma}g_{\alpha\beta})(g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon}),\end{align}$

ahol a szögletes zárójel konvencionálisan az antiszimmetrikus tenzorra utal:

$g_{\alpha[\beta,\gamma]\epsilon} \, = \frac{1}{2} (g_{\alpha\beta,\gamma\epsilon} - g_{\alpha\gamma,\beta\epsilon}).$

Nyom

Az Einstein-tenzor nyoma kiszámítható a metrikus tenzor ($g^{\mu\nu}$) definíciója egyenletének összevonásával: $n$ dimenzióban:

$\begin{align}g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - {1\over2} g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R \\ G &= R - {1\over2} (nR) \\ G &= {{2-n}\over2}R\end{align}$

A 4 dimenzió speciális esete adja a $G\,$-t, az Einstein-tenzor nyoma, mint a negatív $R\,$, a Ricci-tenzor nyoma.

Így az Einstein-tenzor másik neve a fordított nyomú Ricci-tenzor.

Felhasználása az általános relativitáselméletben

Az Einstein-tenzor lehetővé teszi, hogy az Einstein-egyenleteket (a csillagászati állandó nélkül) tömörebb formában lehessen kifejezni:

$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}.$

mely a geometria egységrendszerben:

$G_{\mu\nu} = 8 \pi \, T_{\mu\nu}.$

Az Einstein-tenzor explicit formáját tekintve az Einstein-tenzor a metrikus tenzor egy nem lineáris függvénye, a második parciális deriváltja lineáris. Mint egy szimmetrikus másodrendű tenzornak, az Einstein-tenzornak 10 független komponense van egy 4 dimenziós térben. Ebből következik, hogy az Einstein-egyenletek 10 kvázilineáris másodrendű parciális differenciálegyenletet jelentenek a metrikus tenzornak. A Bianchi-azonosságot szintén egyszerüen lehet kifejezni az Einstein-tenzor segítségével:

$\nabla_{\mu} G^{\mu\nu} = 0.$

Irodalom

• Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini: Gravitation and Spacetime (Second edition ed.). W. W. Norton & Company. 1994. ISBN ISBN 0-393-96501-5
• Martin, John Legat: Gravitation General Relativity: A First Course for Physicists. Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised edition ed.). Prentice Hall. 1995. ISBN ISBN 0-13-291196-5
• Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
• Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
• Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239

Kapcsolódó szócikkek

• Tenzor
• Ricci-tenzor
• Riemann sokaság
• Téridő
• Metrikus tenzor
• Einstein-egyenletek
• Általános relativitáselmélet
• Geometria egységrendszer
• Parciális derivált
• Kronecker delta függvény