Einstein-tenzor

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A differenciálgeometriában az Einstein-tenzort (fordított Ricci-tenzornak is hívják) arra használják, hogy alkalmazásával kifejezzék a Riemann-sokaság görbültségét.[1] Az általános relativitáselméletben az Einstein-tenzor az Einstein-féle gravitációs téregyenleteknél fordul elő, melyek az energiával kapcsolatos megfontolásokkal konzisztens módon írják le a téridő görbültségét.[2]

Meghatározás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Einstein-tenzor (\mathbf{G}) egy másodrendű tenzor a Riemann-sokaságban. Indexmentes kifejezéssel:

\mathbf{G}=\mathbf{R}-\frac{1}{2}\mathbf{g}R,

ahol \mathbf{R} a Ricci-tenzor, \mathbf{g} a metrikus tenzor,és R a skalár görbület. Komponens formában kifejezve az előző egyenlet:

G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - {1\over2} g_{\mu\nu}R.

Az Einstein-tenzor szimmetrikus:

G_{\mu\nu} = G_{\nu\mu}\,

és az energia-impulzus tenzorhoz hasonlóan divergenciamentes

G^{\mu\nu}{}_{; \nu} = 0\,.

Explicit kifejezés[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Ricci-tenzor csak a metrikus tenzortól függ, így az Einstein-tenzort közvetlenül a metrikus tenzorral lehet definiálni. Azonban ez a kifejezés komplex, és ritkán használják. Ennek a kifejezésnek a komplexicitása jól látható, ha a Ricci-tenzort a Christoffel-szimbólumokkal fejezzük ki:


\begin{align}
G_{\alpha\beta} &= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} R \\
&= R_{\alpha\beta} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\gamma\zeta} R_{\gamma\zeta} \\
&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta}) R_{\gamma\zeta} \\
&= (\delta^\gamma_\alpha \delta^\zeta_\beta - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta}g^{\gamma\zeta})(\Gamma^\epsilon_{\gamma\zeta,\epsilon} - \Gamma^\epsilon_{\gamma\epsilon,\zeta} + \Gamma^\epsilon_{\epsilon\sigma} \Gamma^\sigma_{\gamma\zeta} - \Gamma^\epsilon_{\zeta\sigma} \Gamma^\sigma_{\epsilon\gamma}),
\end{align}

ahol \delta^\alpha_\beta a Kronecker-tenzor és a Christoffel szimbólum \Gamma^\alpha_{\beta\gamma} meghatározása:

\Gamma^\alpha_{\beta\gamma} = \frac{1}{2} g^{\alpha\epsilon}(g_{\beta\epsilon,\gamma} + g_{\gamma\epsilon,\beta} - g_{\beta\gamma,\epsilon}).

Egy lokális közeli pont speciális esetében, a metrikus tenzor első deriváltjai eltünnek, és az Einstein-tenzor komponens formája jelentős mértékben egyszerüsődik:

\begin{align}G_{\alpha\beta} & = g^{\gamma\mu}\bigl[ g_{\gamma[\beta,\mu]\alpha} + g_{\alpha[\mu,\beta]\gamma} - \frac{1}{2} g_{\alpha\beta} g^{\epsilon\sigma} (g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon})\bigr] \\ & = g^{\gamma\mu} (\delta^\epsilon_\alpha \delta^\sigma_\beta - \frac{1}{2} g^{\epsilon\sigma}g_{\alpha\beta})(g_{\epsilon[\mu,\sigma]\gamma} + g_{\gamma[\sigma,\mu]\epsilon}),\end{align}

ahol a szögletes zárójel konvencionálisan az antiszimmetrikus tenzorra utal:

g_{\alpha[\beta,\gamma]\epsilon} \, = \frac{1}{2} (g_{\alpha\beta,\gamma\epsilon} - g_{\alpha\gamma,\beta\epsilon}).

Nyom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Einstein-tenzor nyoma kiszámítható a metrikus tenzor (g^{\mu\nu}) definíciója egyenletének összevonásával: n dimenzióban:

\begin{align}g^{\mu\nu}G_{\mu\nu} &= g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - {1\over2} g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R \\ G &= R - {1\over2} (nR) \\ G &= {{2-n}\over2}R\end{align}

A 4 dimenzió speciális esete adja a G\,-t, az Einstein-tenzor nyoma, mint a negatív R\,, a Ricci-tenzor nyoma.

Így az Einstein-tenzor másik neve a fordított nyomú Ricci-tenzor.

Felhasználása az általános relativitáselméletben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az Einstein-tenzor lehetővé teszi, hogy az Einstein-egyenleteket (a csillagászati állandó nélkül) tömörebb formában lehessen kifejezni:

G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}.

mely a geometria egységrendszerben:

G_{\mu\nu} = 8 \pi \, T_{\mu\nu}.

Az Einstein-tenzor explicit formáját tekintve az Einstein-tenzor a metrikus tenzor egy nem lineáris függvénye, a második parciális deriváltja lineáris. Mint egy szimmetrikus másodrendű tenzornak, az Einstein-tenzornak 10 független komponense van egy 4 dimenziós térben. Ebből következik, hogy az Einstein-egyenletek 10 kvázilineáris másodrendű parciális differenciálegyenletet jelentenek a metrikus tenzornak. A Bianchi-azonosságot szintén egyszerüen lehet kifejezni az Einstein-tenzor segítségével:

 \nabla_{\mu} G^{\mu\nu} = 0.


Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini: Gravitation and Spacetime (Second edition ed.). (hely nélkül): W. W. Norton & Company. 1994. ISBN 0393965015  
  • Martin, John Legat: Gravitation General Relativity: A First Course for Physicists. (hely nélkül): Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised edition ed.). Prentice Hall. 1995. ISBN 0132911965  
  • Landau - Lifsic: Elméleti fizika II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1976
  • Novobátzky Károly: A relativitás elmélete. Tankönyvkiadó, Budapest, 1963
  • Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006. ISBN 9630584239

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. http://www.slideshare.net/nagygp/a-differencilgeometria-alapjai
  2. Einstein, Albert (1915. november 25.). „Die Feldgleichungen der Gravitation”. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 844–847. o. Hozzáférés ideje: 2006. szeptember 12.