Christoffel-szimbólumok

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Christoffel-szimbólumok a tér "görbeségére" vonatkozó mennyiségek a differenciálgeometriában. Bevezetésük Elwin Bruno Christoffel (1829–1900) nevéhez fűződik.

Definíciójuk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Vegyük az xi, i = 1,2,...,n, koordináta bázist az n dimenziós M differenciálható sokaságon. Legyen

e_i = \frac{\partial}{\partial x^i}, \quad i=1,2,\dots,n

a tangens tér bázisa. Jelölje  g_{ab} a metrikus tenzort. Ekkor felsőindexes Christoffel-szimbólumoknak nevezzük a következő mennyiségeket

\Gamma^i_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right) \

Itt és a következőkben, a kétszer előforduló indexekre automatikusan összegzés értendő (Einstein-féle konvenció). Jelölje vessző a parciális deriváltat. E jelöléssel a Christoffel-szimbólumok a következőképpen írhatóak:

\Gamma^i_{k\ell} = {1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}). \

Alsó indexes formája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Christoffel-szimbólumok alsó indexes formája a következő alakú:

\Gamma_{\gamma \, \alpha \beta} = g_{\gamma \delta} \Gamma^{\delta}_{\alpha \beta}
= {1 \over 2} (g_{\gamma \alpha, \beta} + g_{\beta \gamma, \alpha} - g_{\alpha \beta, \gamma}) \,.

Szimmetriája[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A definícióból következően a Christoffel-szimbólumok az alsó indexeikben szimmetrikusak:

\Gamma^i_{k\ell}= \Gamma^i_{\ell k}

Hasonlóan, az alsó indexes Christoffel-szimbólumok pedig a két utolsó indexükben szimmetrikusak:

\Gamma_{i \, km} = \Gamma_{i \, mk}

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Hajós György: Differenciálgeometria I. Tankönyvkiadó. Budapest. 1973.

Perjés Zoltán: Általános relativitáselmélet. Akadémiai Kiadó. Budapest. 2006