Basu-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A statisztikában, a Basu-tétele azt állítja, hogy bármely komplett elégséges statisztika független bármely kiegészítő statisztikától.

Egy statisztika kiegészítő statisztika, ha az eloszlása nem függ θ-tól.

Ezt a tételt Debabrata Desu (indiai statisztikus) 1955-ben állította fel. [1]

A tételt gyakran alkalmazzák két statisztika függetlenségének bizonyítására.

Állítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen Pθ egy eloszlás család az (X, Σ), mérhető térben. Akkor, ha T komplett elégséges statisztika θ-ra, és A kiegészítő statisztika θ-ra, akkor T független A-tól.

Bizonyítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen PθT és PθA T és A marginális eloszlásai.

P_\theta^A(B) = P_\theta (A^{-1} B) = \int_{T(X)} P_\theta(A^{-1}B | T=t) \  P_\theta^T (dt) \,

PθT nem függ θ-tól, mert A kiegészítő. Hasonlóképpen Pθ(•|T = t) nem függ θ-tól, mert T elégséges. Ezért:  \int_{T(X)} \big[ P(A^{-1}B | T=t) - P^A(B)  \big] \ P_\theta^T (dt) = 0 \, Figyeljük meg az integranduszt ( függvény az integrálon belül), mely t függvénye, és nem θ-é. Ezért, mivel T komplett:

P(A^{-1}B | T=t) = P^A(B) \quad \text{minden t-re}t\,

Így bizonyított, hogy A független T-től.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Normális eloszlású minta középértéke és szórásnégyzetének a függetlensége.

Legyenek X1, X2, ..., Xn független, azonos eloszlású normális valószínűségi változók, μ középértékkel, és σ2 szórásnégyzettel. Ekkor:

\widehat{\mu}=\frac{\sum X_i}{n},\,

a minta középértéke, mely egy komplett elégséges statisztika – azaz, minden információ megkapható a μ becsléséhez, és nem több, továbbá:

\widehat{\sigma}^2=\frac{\sum \left(X_i-\bar{X}\right)^2}{n-1},\,

a minta szórásnégyzete, mely egy kiegészítő statisztika – eloszlása nem függ μ-től. Így, a Basu-tételből következően, ezek a statisztikák függetlenek. A függetlenség a Cochran-tételből is levezethető. Továbbá, ez a tulajdonság, hogy a normális eloszlás középértéke és szórásnégyzete függetlenek, jellemzi a normális eloszlást – nincs más hasonló tulajdonságú eloszlás. [2]

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Boos, Dennis D.; Oliver, Jacqueline M. Hughes: Applications of Basu's Theorem. (hely nélkül): The American Statistician (Boston: American Statistical Association) 52. 1998.  
  • Ghosh, Malay: Basu's Theorem with Applications: A Personalistic Review. (hely nélkül): Sankhyā: the Indian Journal of Statistics, Series A 64. 2002.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Basu (1955)
  2. Geary, R.C. (1936.). „The Distribution of the "Student's" Ratio for the Non-Normal Samples”. Supplement to the Journal of the Royal Statistical Society 3 (2), 178–184. o. DOI:10.2307/2983669.