Szabályos feltételes eloszlás

Egy valószínűségi változó szabályos feltételes eloszlása a valószínűségszámításban a valószínűségi változó eloszlását általánosítja. Tekintetbe veszi azt az információt, amit a lehetséges kimenetelekről tudunk. A Bayes-statisztika és a sztochasztikus folyamatok elméletében fontos. Szemben a közönséges feltételes eloszlással a szabályos feltételes eloszlást a feltételes várható értékkel definiálják, ezzel annál lényegesen általánosabb.

Definíció

Adva legyen egy $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ valószínűségi mező, egy $(E,{\mathcal {E}})$ mértéktér és ${\mathcal {A}}$ egy ${\mathcal {F}}$ rész-σ-algebrája. Továbbá legyen $Y$ egy valószínűségi változó $(\Omega ,{\mathcal {A}})$-ban $(E,{\mathcal {E}})$ szerint.

Ekkor $(\Omega ,{\mathcal {A}})$ egy $(E,{\mathcal {E}})$ szerinti $\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}$ Markov-magja az $Y$ valószínűségi változó ${\mathcal {F}}$-re vett feltételes eloszlásának szabályos verziója, ha

$\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\omega ,B)=P(Y^{-1}(B)|{\mathcal {F}})(\omega )$

minden $B\in {\mathcal {E}}$ esetén $P$-majdnem mindenütt $\omega$-ban.

Itt $P(A|{\mathcal {F}})(\omega ):=\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}|{\mathcal {F}})(\omega )$ a feltételes valószínűség, amit feltételes várható értékkel definiálnak.

A $\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}\colon \Omega \times {\mathcal {E}}\to [0,1]$ függvény definíciójában szereplő feltételek a következőket is jelentik:

• Minden $\omega \in \Omega$ esetén $\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\omega ,\,\cdot \,)$ valószínűségi mérték $(E,{\mathcal {E}})$-n.
• Minden $B\in {\mathcal {E}}$ ${\mathcal {A}}$-mérhető függvény $\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\,\cdot \,,B)$-n.
• Minden $B\in {\mathcal {E}}$ és minden $F\in {\mathcal {F}}$

esetén $\int _{F}\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\,\cdot \,,B)\,dP=P(Y^{-1}(B)\cap F)$.

Létezése

Ha a valós számokat a Borel-algebrával látjuk el, akkor valós értékű valószínűségi változóknak mindig van szabályos feltételes eloszlása. Általában, Borel-terekből származó értékeket felvevő valószínűségi változóknak mindig van szabályos feltételes eloszlása. Erre példák a valós valószínűségi vektorváltozók $\mathbb {R} ^{n}$-ben a Borel-algebrával, illetve azok a valószínűségi változók, amelyek lengyel terekből vesznek fel értékeket.

Példa

Adva legyen két valós valószínűségi változó az $f_{X,Y}(x,y)$ közös sűrűségfüggvénnyel a Lebesgue-mérték szerint. Ekkor az $Y$ feltéve $X$ szabályos feltételes eloszlás sűrűségfüggvénye

$f_{Y|X}(y|x):={\frac {f(x,y)}{f_{X}(x)}}$,

vagyis

$\kappa _{Y,\sigma (X)}(\omega ,B)={\frac {\displaystyle \int _{B}f(X(\omega ),y)\,dy}{f_{X}(X(\omega ))}}$.

Itt $f_{X}(x)=\int _{\mathbb {R} }f(x,y)\,dy$ a peremeloszlás sűrűségfüggvénye. Ez a peremeloszlás lehet nulla, de ez nem probléma, mivel ez csak egy $P_{X}$-nullmértékű halmazon fordulhat elő.

Feltételes várható értékek kiszámítása

Ha $\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}$ egy $Y$ integrálható valós valószínűségi változó feltételes eloszlásának ${\mathcal {F}}$-re vett szabályos verziója, akkor $Y$ ${\mathcal {F}}$-re vett feltételes várható értéke

$\operatorname {E} (Y|{\mathcal {F}})(\omega )=\int _{\mathbb {R} }y\,\kappa _{Y,{\mathcal {F}}}(\omega ,dy)$

$P$-majdnem minden $\omega \in \Omega$ esetén.

Változatai

A feltételes várható érték változataihoz hasonlóan a szabályos feltételes eloszlásnak is definiálhatók különböző változatai, amelyek mind visszavezethetők a fenti definícióra.

• Valószínűségi változók bevezetése nélkül definiálható $P$ szabályos feltételes eloszlása adott ${\mathcal {F}}$-re Markov-magként, mint

$\kappa (\omega ,A)=P(A|{\mathcal {F}})(\omega )$

$P$-majdnem minden $\omega$ és minden $A\in {\mathcal {A}}$ esetén.

• Ha $X$ egy másik valószínűségi változója $(\Omega ,{\mathcal {A}})$-nak egy további $(E_{1},{\mathcal {E}}_{1})$ mértéktéren, akkor az ${\mathcal {F}}$ σ-algebra helyettesíthető az $X$ valószínűségi változó által generált $\sigma (X)$ generált σ-algebrával, hogy megkapjuk az $Y$ feltéve $X$ szabályos feltételes eloszlást.

Források

• Achim Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie, 3., Berlin Heidelberg: Springer-Verlag (2013) 
• Ludger Rüschendorf. Mathematische Statistik. Berlin Heidelberg: Springer Verlag (2014) 

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Reguläre bedingte Verteilung című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.