„Ötödfokú egyenlet” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
FoBe (vitalap | szerkesztései) |
a kisebb formai javítások |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
[[ |
[[Fájl:Polynomialdeg5.png|thumb|right|233px|Egy ötödfokú polinom képe]] |
||
A [[matematika|matematikában]] az ötödfokú egyenlet egy [[polinom]] egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja: |
A [[matematika|matematikában]] az '''ötödfokú egyenlet''' egy [[polinom]] egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja: |
||
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,\,</math> |
:<math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0,\,</math> |
||
ahol <math>a, b, c, d, e, f\,</math> egy [[ |
ahol <math>a, b, c, d, e, f\,</math> egy [[Test (algebra)|test]] elemei, általában a [[racionális szám]]ok, a [[valós szám]]ok, vagy a [[komplex szám]]ok elemei, valamint <math>a \neq 0.</math> |
||
Mivel páratlan fokú, ezért általában hasonlít a képe a harmadfokú egyenlet képéhez, azzal a kivétellel, hogy egy további lokális maximum és minimum pontja van. A [[derivált]]ja egy negyedfokú függvény. |
Mivel páratlan fokú, ezért általában hasonlít a képe a harmadfokú egyenlet képéhez, azzal a kivétellel, hogy egy további lokális maximum és minimum pontja van. A [[derivált]]ja egy negyedfokú függvény. |
||
42. sor: | 41. sor: | ||
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének |
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének |
||
:<math>y^2 = (20-a)(5+a)\,</math> |
:<math>y^2 = (20-a)(5+a)\,</math> |
||
valamely racionális <math>a, y</math>-ra. |
valamely racionális <math>a, y</math>-ra. |
||
60. sor: | 59. sor: | ||
[[de:Gleichung fünften Grades]] |
[[de:Gleichung fünften Grades]] |
||
[[es:Ecuación de quinto grado]] |
[[es:Ecuación de quinto grado]] |
||
⚫ | |||
[[fr:Équation quintique]] |
[[fr:Équation quintique]] |
||
⚫ | |||
[[ja:五次方程式]] |
[[ja:五次方程式]] |
||
⚫ | |||
[[pt:Equação do quinto grau]] |
[[pt:Equação do quinto grau]] |
||
[[ru:Проблема уравнений 5-й и высших степеней]] |
[[ru:Проблема уравнений 5-й и высших степеней]] |
||
⚫ | |||
[[zh:五次方程]] |
[[zh:五次方程]] |
A lap 2010. július 3., 05:30-kori változata
A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:
ahol egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok, vagy a komplex számok elemei, valamint
Mivel páratlan fokú, ezért általában hasonlít a képe a harmadfokú egyenlet képéhez, azzal a kivétellel, hogy egy további lokális maximum és minimum pontja van. A deriváltja egy negyedfokú függvény.
Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása
Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon értékek, melyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.
Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az -edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel-Ruffini tétel, melyet először 1824-ben publikáltak mint az egyik első alkalmazását az algebrai csoportelméletnek. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre mely nem fejezhető így ki a . Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.
A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre módszer, vagy a Jenkins-Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd vagy magasabb fokú egyeletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.
Megoldható ötödfokú egyenletek
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például felírható mint . Más ötödfokú egyenlet mint például a nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young, és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a referenciákban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthetókkal Bring-Jerrard formában,
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:
ahol és racionálisak. 1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,
A kapcsolatot a 1885-i és a 1994-i parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk
ahol
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének
valamely racionális -ra.
Mivel a Tschirnhaus transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal..
Referenciák
- Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.