„Átló” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a →Speciális esetek: Grrrr.... |
poliéderek |
||
50. sor: | 50. sor: | ||
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza |
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza |
||
: <math>d = 2 a</math>. |
: <math>d = 2 a</math>. |
||
==Poliéderek== |
|||
A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját. |
|||
== Mátrix == |
|||
*Egy poliéder '''lapátlója''' a poliéder egy lapjának átlója. |
|||
*Egy poliéder '''testátlója''' egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza. |
|||
===A poliéder átlóinak hossza=== |
|||
Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható. |
|||
*Egy ''a'', ''b'' és ''c'' élű téglatest testátlójának hossza <math>d = \sqrt{a^2+b^2+c^2}</math>. |
|||
*Speciális esetként adódik a kocka testátlója: <math>d = a\sqrt{3}</math>. |
|||
:Általános esetben a testátló hossza isa koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg. |
|||
== Mátrixok == |
|||
A [[négyzetes mátrix]]oknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a [[mátrix (matematika)|mátrix]]ban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek [[vektor]]a. |
A [[négyzetes mátrix]]oknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a [[mátrix (matematika)|mátrix]]ban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek [[vektor]]a. |
||
A lap 2010. február 14., 14:37-kori változata
A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is.
Sokszögek
Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.
Egy n oldalú sokszögnek d számú különböző átlója lehet, mindegyik csúcsból indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:
- (n − 3) × n,
mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így:
Hossza
A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:
ahol s0 és s1 a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.
A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.
- A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
- A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
- Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
Speciális esetek
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.
- Egy a és b oldalú paralelogramma átlóinak hossza
és
- .
- Az a és b oldalú téglalap átlójának hossza a Pitagorasz-tétellel számítható:
- .
- Az a oldalú négyzet átlója:
- .
- Az a oldalú szabályos ötszög átlója:
- .
- Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza
- .
- A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza
- .
Poliéderek
A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját.
- Egy poliéder lapátlója a poliéder egy lapjának átlója.
- Egy poliéder testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza.
A poliéder átlóinak hossza
Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható.
- Egy a, b és c élű téglatest testátlójának hossza .
- Speciális esetként adódik a kocka testátlója: .
- Általános esetben a testátló hossza isa koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.
Mátrixok
A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.
Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:
Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:
Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.
A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.
A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.
Lásd még
Források
- Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
- Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.