„Asszociativitás” változatai közötti eltérés
| [nem ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a Robot: következő módosítása: es:Asociatividad (álgebra) |
a kozmetikai javítások |
||
| 1. sor: | 1. sor: | ||
A [[matematika|matematikában]] az '''asszociativitás''' vagy '''csoportosíthatóság''' a kétváltozós (binér/bináris) matematikai [[művelet]]ek egy tulajdonsága, fontos [[algebra]]i [[azonosság]]: ha A egy tetszőleges halmaz és *: |
A [[matematika|matematikában]] az '''asszociativitás''' vagy '''csoportosíthatóság''' a kétváltozós (binér/bináris) matematikai [[művelet]]ek egy tulajdonsága, fontos [[algebra]]i [[azonosság]]: ha A egy tetszőleges halmaz és *:A×A→A egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés testzőleges x,y∈A elemekre a *(x,y)=c∈A helyett x*y=c); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha az A tetszőleges x,y,z elemeire teljesül: |
||
<center> (x*y)*z = x*(y*z) <ref>Megjegyzés: (x*y)*z helyett egyszerűen x*y*z is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát pl. x*y*z*u automatikusan így zárójelezendő: (((x*y)*z)*u) ).</ref>.</center> |
<center> (x*y)*z = x*(y*z) <ref>Megjegyzés: (x*y)*z helyett egyszerűen x*y*z is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát pl. x*y*z*u automatikusan így zárójelezendő: (((x*y)*z)*u) ).</ref>.</center> |
||
| 16. sor: | 16. sor: | ||
* Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások: |
* Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások: |
||
** Az A halmazon értelmezett * kétváltozós művelet asszociatív; |
** Az A halmazon értelmezett * kétváltozós művelet asszociatív; |
||
** Tetszőleges n db. (nem felt. különböző) a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub> |
** Tetszőleges n db. (nem felt. különböző) a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub>∈A elemekre az a<sub>1</sub>*a<sub>2</sub>*...*a<sub>n</sub> :=c∈A műveletsorozat bármilyen [[szabályos zárójelezés]]sel ugyanazt a rögzített c elemet adja; ttt n∈'''[[Természetes számok|N]]'''<sup>+</sup> értelemszerűen nemnegatív [[természetes számok]]. <ref>E tétel az n≥3 kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt n≤2 esetében – automatikusan igaz.</ref>. |
||
** Legyenek A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ..., A<sub>k</sub> tetszőleges A-beli [[véges sorozat]]ok, ekkor |
** Legyenek A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ..., A<sub>k</sub> tetszőleges A-beli [[véges sorozat]]ok, ekkor Π(A<sub>1</sub><big>∨</big>A<sub>2</sub><big>∨</big>...<big>∨</big>A<sub>k</sub>) = Π(A<sub>1</sub>) · Π(A<sub>2</sub>) · ... · Π(A<sub>k</sub>), ahol Π a sorozatok A-beli [[produktum]]át (elemeinek sorrendben való összeszorzását); míg <big>∨</big> az adott sorrendben való "egyesítésüket" jelöli. |
||
[[neutrális elem|Egységelemes]] félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla db. taguk legyen. |
[[neutrális elem|Egységelemes]] félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla db. taguk legyen. |
||
| 38. sor: | 38. sor: | ||
<references /> |
<references /> |
||
[[Kategória: |
[[Kategória:Absztrakt algebra]] |
||
[[en:Associativity]] |
[[en:Associativity]] |
||
A lap 2008. július 8., 04:38-kori változata
A matematikában az asszociativitás vagy csoportosíthatóság a kétváltozós (binér/bináris) matematikai műveletek egy tulajdonsága, fontos algebrai azonosság: ha A egy tetszőleges halmaz és *:A×A→A egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés testzőleges x,y∈A elemekre a *(x,y)=c∈A helyett x*y=c); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha az A tetszőleges x,y,z elemeire teljesül:
Ez a függvény- (vagy prefix-) jelöléssel így írható:
Például a természetes, valós vagy akár a komplex számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás mind-mind asszociatív: (a+b)+c = a+(b+c), szorzás esetében (a·b)·c = a·(b·c). (Itt a, b és c mindkét példa esetében tetszőleges természetes, egész, racionális, valós vagy akár komplex szám)
Azokat az (A,*) matematikai struktúrákat, melyek * művelete asszociatív, félcsoportoknak nevezzük.
A teljes asszociativitás tétele
Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak:
- Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások:
- Az A halmazon értelmezett * kétváltozós művelet asszociatív;
- Tetszőleges n db. (nem felt. különböző) a1, a2, ..., an∈A elemekre az a1*a2*...*an :=c∈A műveletsorozat bármilyen szabályos zárójelezéssel ugyanazt a rögzített c elemet adja; ttt n∈N+ értelemszerűen nemnegatív természetes számok. [2].
- Legyenek A1, A2, ..., Ak tetszőleges A-beli véges sorozatok, ekkor Π(A1∨A2∨...∨Ak) = Π(A1) · Π(A2) · ... · Π(Ak), ahol Π a sorozatok A-beli produktumát (elemeinek sorrendben való összeszorzását); míg ∨ az adott sorrendben való "egyesítésüket" jelöli.
Egységelemes félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla db. taguk legyen.
(A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett teljes indukcióval történhet.)
Asszociativitás és Cayley-tábla: a Light-teszt
Egy művelet asszociativitása a művelettáblájáról (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint pl. a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. Light-féle eljárás.
Érdekességek
Érdekes kérdés, vagy inkább probléma, hogy asszociatívak-e olyan, általában asszociatívnak nevezett halmazműveletek, mint az unió- vagy metszetképzés. Ezek ugyanis tkp. nem matematikai műveletek (mivel az összes halmaz halmazáról ellentmondásossága miatt, nem beszélhetünk, míg a halmazműveleteknek minden halmaz összességére értelmezve kell hogy legyenek). Szigorú értelemben véve a halmazműveletek nem is műveletek, ezért – legalábbis a fenti definíció értelmében – asszociatívak sem lehetnek, hiszen az asszociativitás fogalma csak matematikai műveletekre van értelmezve. Ennek ellenére „formálisan” megfelelnek az asszociativitás követelményének, ezért nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a halmazműveleteket asszociatívnak.
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Megjegyzés: (x*y)*z helyett egyszerűen x*y*z is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát pl. x*y*z*u automatikusan így zárójelezendő: (((x*y)*z)*u) ).
- ↑ E tétel az n≥3 kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt n≤2 esetében – automatikusan igaz.