„Átló” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a →Speciális esetek: linkek |
a →Speciális esetek: Grrrr.... |
||
43. sor: | 43. sor: | ||
: <math>d = a\sqrt{2}</math>. |
: <math>d = a\sqrt{2}</math>. |
||
*Az ''a'' oldalú |
*Az ''a'' oldalú szabályos [[ötszög]] átlója: |
||
: <math>d = \frac{a}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)</math>. |
: <math>d = \frac{a}{2} \left(1+\sqrt{5}\right)</math>. |
||
*Az ''a'' oldalú |
*Az ''a'' oldalú szabályos [[hatszög]]ben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza |
||
: <math>d = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math>. |
: <math>d = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math>. |
||
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza |
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza |
A lap 2010. február 14., 14:27-kori változata
A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is.
Sokszögek
Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.
Egy n oldalú sokszögnek d számú különböző átlója lehet, mindegyik csúcsból indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:
- (n − 3) × n,
mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így:
Hossza
A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:
ahol s0 és s1 a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.
A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.
- A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
- A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
- Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
Speciális esetek
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.
- Egy a és b oldalú paralelogramma átlóinak hossza
és
- .
- Az a és b oldalú téglalap átlójának hossza a Pitagorasz-tétellel számítható:
- .
- Az a oldalú négyzet átlója:
- .
- Az a oldalú szabályos ötszög átlója:
- .
- Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza
- .
- A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza
- .
Mátrix
A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.
Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:
Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:
Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.
A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.
A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.
Lásd még
Források
- Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
- Stoyan Gisbert - Takó Galina: Numerikus módszerek 1.