„Ötödfokú egyenlet” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
|||
50. sor: | 50. sor: | ||
{{Portál|matematika}} |
{{Portál|matematika}} |
||
{{DEFAULTSORT: |
{{DEFAULTSORT:ÖtödfokúEgyenlet}} |
||
[[Kategória:Elemi algebra]] |
[[Kategória:Elemi algebra]] |
A lap 2016. január 7., 12:34-kori változata
A matematikában az ötödfokú egyenlet egy polinom egyenlet, aminek a foka 5. Általános alakja:
ahol egy test elemei, általában a racionális számok, a valós számok vagy a komplex számok elemei, valamint .
Ötödfokú egyenlet gyökeinek meghatározása
Egy polinom gyökeinek meghatározása — azon értékek, melyek teljesítik az egyenletet — racionális együtthatók esetében kiemelkedő matematikai probléma volt.
Lineáris, másod-, harmad- és negyedfokú egyenletek megoldása egyszerű, függetlenül attól, hogy a gyökök racionálisak, irracionálisak, valósak vagy komplexek; vannak megoldóképleteik. Azonban nincs olyan képlet, ami a négy alapművelet és az -edik gyökvonás segítségével kifejezhetné a megoldásokat általános esetben; ez az Abel–Ruffini-tétel, melyet először 1824-ben publikáltak, mint az egyik első alkalmazását az algebrai csoportelméletnek. Ez az eredmény igaz magasabb fokú egyenletekre is. Egy példa olyan egyenletre, mely nem fejezhető így ki a . Ez az egyenlet Bring-Jerrard normál alakban van.
A gyakorlatban polinomegyenletek pontos megoldása gyakran felesleges és más numerikus megoldó módszerek, mint például a Laguerre-módszer, vagy a Jenkins–Traub algoritmus valószínűleg a legalkalmasabbak arra, hogy megkapjuk általános ötöd vagy magasabb fokú egyenletek közelítő megoldásait. Azonban a pontos megoldások néha hasznosak bizonyos alkalmazásokhoz és sok matematikus próbálta meghatározni ezeket.
Megoldható ötödfokú egyenletek
Néhány ötödfokú egyenlet megoldható úgy, hogy alacsonyabb fokú polinomok szorzataként fejezzük ki, például felírható mint . Más ötödfokú egyenlet mint például a nem fejezhető ki ilyen alakban. Évariste Galois kifejlesztett eljárásokat annak meghatározására, hogy egy polinom-egyenlet mikor fejezhető ki polinomok szorzataként, ezzel megalkotva a Galois-elmélet területét. Ezeket az eljárásokat először John Stuart Glashan, George Paxton Young, és Carl Runge alkalmazta 1885-ben, hogy általános kritériumot adjanak a megoldhatóságra (Lazard egy modern megközelítése található a forrásokban). Azt találták, hogy bármely irreducibilis ötödfokú polinom racionális együtthatókkal Bring-Jerrard formában,
gyökökkel kifejezhető megoldású akkor és csak akkor, ha a következő alakú:
ahol és racionálisak. 1994-ben, Blair Spearman és Kenneth S. Williams egy alternatív kritériumot talált,
A kapcsolatot az 1885-i és az 1994-i parametrizáció között egyszerűen látható, ha a következőt definiáljuk
ahol
Szükséges, de nem elegendő feltétel, hogy az irreducibilis megoldható ötödfokú egyenlet
racionális együtthatókkal megfeleljen a következő négyzetes görbének
valamely racionális -ra.
Mivel a Tschirnhaus-transzformációk megfontolt használatával lehetséges bármely ötödfokú polinomot átalakítani Bring-Jerrard formára, mindkét parametrizáció egy szükséges és elégséges feltételt ad annak eldöntésére, hogy az adott ötödfokú egyenlet gyökei kifejezhetőek-e gyökvonásokkal.
Források
- Daniel Lazard, "Solving quintics in radicals", Olav Arnfinn Laudal, Ragni Piene, The Legacy of Niels Henrik Abel, pp. 207–225, Berlin, 2004,. ISBN 3-5404-3826-2.