„Számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség” változatai közötti eltérés
[nem ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
szigorú monotonsághoz nem elég a nagyobbegyenlőt bizonyítani |
||
133. sor: | 133. sor: | ||
Bizonyítás: <math>a^4b^3c=(a^{32}b^{24}c^8)^{1/8}=(a^8a^8a^8a^8b^8b^8b^8c^8)^{1/8}\le\frac{4a^8+3b^8+c^8}8</math>. A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c. |
Bizonyítás: <math>a^4b^3c=(a^{32}b^{24}c^8)^{1/8}=(a^8a^8a^8a^8b^8b^8b^8c^8)^{1/8}\le\frac{4a^8+3b^8+c^8}8</math>. A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c. |
||
=== Az <math>\sqrt[n]{n}</math> sorozat |
=== Az <math>\sqrt[n]{n}</math> sorozat határértéke=== |
||
Megmutatjuk, hogy <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1</math>. Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján |
Megmutatjuk, hogy <math>\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{n}=1</math>. Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján |
||
<center><math>1\le\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}*1*\ldots*1} \le\frac{2\sqrt{n}+ n-2}{n}=1+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{n}\to 1.</math></center> |
<center><math>1\le\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{\sqrt{n}\sqrt{n}*1*\ldots*1} \le\frac{2\sqrt{n}+ n-2}{n}=1+\frac{2}{\sqrt{n}}-\frac{2}{n}\to 1.</math></center> |
||
=== Az <math>(1+ \frac{1}{n})^n</math> sorozat szigorúan monoton növekedő=== |
=== Az <math>(1+ \frac{1}{n})^n</math> sorozat szigorúan monoton növekedő=== |
||
Azt kell igazolni, hogy <math>(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1} |
Azt kell igazolni, hogy <math>(1+ \frac{1}{n+1})^{n+1} > (1+ \frac{1}{n})^{n}</math>. A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján |
||
<center><math> |
<center><math> |
||
\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^{n}*1} \le \frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}. |
\sqrt[n+1]{(1+\frac{1}{n})^{n}*1} \le \frac{n(1+\frac{1}{n})+1}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}. |
||
</math></center> |
</math></center> |
||
Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy <math>(1+ \frac{x}{n})^n</math> is szigorúan monoton növekedő, ahol <math>x</math> tetszőleges valós szám. |
|||
== A tétel súlyozott változata == |
== A tétel súlyozott változata == |
A lap 2013. október 11., 16:01-kori változata
A számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenség egy matematikai tétel, amely szerint nemnegatív valós számok számtani középértéke nem lehet kisebb, mint a számok mértani középértéke; egyenlőség is csak akkor állhat fenn, ha a szóban forgó számok megegyeznek.
A tétel megfogalmazása
Bármely nemnegatív valós számok esetén
és egyenlőség csak abban az esetben áll fenn, ha .
A tétel bizonyításai
Az n = 2 eset bizonyításai
Algebrai bizonyítás
Ekvivalens átalakításokkal
ami mindig teljesül.
Geometriai bizonyítás
Az egymás mögé illesztett és hosszúságú szakaszok, mint átmérő fölé, rajzoljunk félkörívet! Ennek sugara a két szám számtani közepe lesz. A két szám mértani közepének megfelel a szakaszok érintkezési pontjába állított és a körívig húzott merőlegesnek a hossza. Az ábráról leolvasható, hogy az utóbbi csak abban az esetben éri el a sugár hosszát, ha .
Bizonyítások teljes indukcióval
1. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Osszuk ugyanis fel a tetszőlegesen rögzített számot két darab -es csoportra; alkalmazzuk ezekre külön-külön az -re vonatkozó indukciós feltevést; majd második lépésben alkalmazzuk az esetre már bizonyított tételt:
Ezzel bizonyítottuk az állítást minden olyan esetre, amikor a tagok száma 2-hatvány ().
c.) Amennyiben nem 2-hatvány (), akkor az nemnegatív valós számokhoz vegyük hozzá az elemeket, és alkalmazzuk az így kapott számokra a már bizonyított állítást:
Ekvivalens átalakításokkal:
amit bizonyítani kellett.
d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét.
esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor
Tegyük fel most, hogy például ! Felhasználva, hogy ebben az esetben :
tehát egyenlőség nem állhat fenn.
2. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz, a már látott módon.
c.) Egyfajta fordított irányú indukciót alkalmazva igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is teljesül, és így minden természetes számra fennáll. Az nemnegatív valós számokhoz vegyük ugyanis hozzá -dik elemként a számok számtani középértékét, az számot. Az indukciós feltevésből kiindulva, ekkor, ekvivalens átalakításokkal:
,
amit bizonyítani kellett.
d.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.
3. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Legyen ugyanis és , ekkor az indukciós feltevés miatt
Mivel , elegendő megmutatni, hogy
Ekvivalens átalakításokkal:
,
ami mindig teljesül, mert esetén a bal oldalon két pozitív, esetén pedig két negatív szám szorzata szerepel.
c.) Végül igazoljuk a tétel egyenlőségre vonatkozó részét, a már látott módon.
4. bizonyítás
a.) A tételt esetre már bizonyítottuk.
b.) Igazoljuk, hogy ha -re igaz az állítás, akkor -re is igaz. Indukcióval feltehetjük, hogy -re igaz az állítás és szám van adva: és . Jelöljük -val az számok számtani közepét. Az indukciós hipotézis miatt tudjuk, hogy . Be kell látnunk, hogy
teljesül minden számra. Az indukció miatt már tudjuk, hogy , ezért azt kell belátni, hogy azaz
teljesül. polinom, ami 0-ban pozitív, -ban nulla, végtelenben pedig végtelenhez tart. Így van minimuma, ahol deriváltja nulla. Kiszámolva:
ahonnan .
Richard Rado bizonyítása
Richard Rado indukciós bizonyítása erősebb állítást igazol. Tegyük fel, hogy számunk van, ezek számtani és mértani közepe és , az első szám számtani illetve mértani közepe pedig és . Ekkor
Ez elég, hiszen ha , akkor a képlet szerint . A képlet igazolásához -nel osztva, 0-ra redukálva és bevezetve az
új változót, a következő adódik:
Ezt kell tehát -ra igazolni. Ezt -re való indukcióval bizonyítjuk. Az eset igaz. Ha pedig -re igaz, akkor -re
Pólya György bizonyítása
Pólya György bizonyítása, ami az analízis mély fogalmait használja, az exponenciális függvény következő tulajdonságára épül: ha valós, egyenlőség csak akkor áll, ha . Tegyük fel tehát, hogy adottak az pozitív számok, számtani közepük . Írjuk fel az említett egyenlőtlenséget az () számokra:
Összeszorozva ezeket azt kapjuk, hogy
A bal oldal miatt így alakítható:
és ezzel azt kaptuk, hogy , tehát készen vagyunk. Egyenlőség csak akkor áll, ha , azaz a számok egyenlőek. Ezt a bizonyítást Pólya György álmában találta.
Riesz Frigyes bizonyítása
Riesz Frigyes bizonyítása a következő: esetén az egyenlőség nyilvánvalóan teljesül, hiszen ekkor . Amennyiben a számok nem egyenlőek, feltehető, hogy létezik közöttük legkisebb és legnagyobb elem, például . Helyettesítsük ebben az esetben helyébe az , helyébe pedig az értéket. Ezzel a helyettesítéssel a számtani középérték nem változott, hiszen
a mértani középérték viszont
értékkel nőtt; továbbá a számok között most már az elem eggyel többször szerepel. Ezzel az eljárással véges sok lépésben valamennyi elemet -re cserélhetjük, miközben a számtani közép változatlan marad, a mértani közép pedig fokozatosan nő. Az eljárás végén elérjük a bizonyítás elején már tárgyalt egyenlőséget, és ezzel egyben a tételt is igazoltuk.
A tétel fontosabb alkalmazásai
Pozitív valós szám és reciprokának összege nem kisebb 2-nél
A tétel segítégégvel bebizonyítható, hogy ha , akkor . Ugyanis egyenlőtlenség a tétel miatt igaz, hiszen a bal oldalon a és számtani, míg a jobb oldalon a mértani közepük van. A jobb oldalon a gyök alatt 1 van, és mivel , ezért , és 2-vel szorozva . QED
A rendezési tétel helyettesítése több feladat megoldásában
Ebben a példában az egyenlőtlenség a rendezési tételt helyettesíti:
Igazoljuk, hogy (a, b, c poz. valós számok). Bizonyítás: . A változók ciklikus permutálásával kapott három egyenlőtlenséget összeadva adódik az igazolandó. Leolvashatjuk az egyenlőség esetét is: a=b=c.
Az sorozat határértéke
Megmutatjuk, hogy . Valóban, hiszen a számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
Az sorozat szigorúan monoton növekedő
Azt kell igazolni, hogy . A számtani és mértani közepek közötti egyenlőtlenség alapján
Egyenlőség pedig nem állhat fenn. Hasonlóan igazolható, hogy is szigorúan monoton növekedő, ahol tetszőleges valós szám.
A tétel súlyozott változata
A tétel súlyozott változata a következő. Ha nemnegatív valós számok, pozitív valós számok, amikre teljesül, akkor
Egyenlőség csak akkor áll fenn, ha . Ennek speciális esete az eredeti tétel.
A tétel általánosításai
- a hatványközepek közötti egyenlőtlenség
- a szimmetrikus közepek közötti egyenlőtlenség
- a Jensen-egyenlőtlenség
A tétellel kapcsolatos (matematika)történeti érdekességek
Források
- Dr. Korányi Erzsébet: Matematika a gimnáziumok 10. osztálya számára ISBN 963-8332-84-0
- Besenyei Ádám: A számtani-mértani közép és egyéb érdekességek